《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

7. 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M。当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是( )。
A. $2 - \sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}+1$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}-1$

答案： 7.D

8. 已知正方形ABCD，点M为边AB的中点。
(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB = 90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F。①求证BE = CF。②求证$BE^{2}=BC\cdot CE$。
(2)如图②，在边BC上取一点E，满足$BE^{2}=BC\cdot CE$。连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求$\frac{CF}{BC}$的值。

答案： 8.
(1)①证Rt△ABE≌Rt△BCF,得BE=CF.
　②
∵∠AGB=90°,点M为边AB的中点，
∴MG=MA=MB.
∴∠GAM=∠AGM.
又
∵∠CGE=∠AGM,∠GAM=∠CBG,
∴∠CGE=∠CBG.
　又
∵∠ECG=∠GCB,
∴△CGE∽△CBG.
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{EC}{CG}$，即CG²=BC·CE.
　由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF，
　得CF=CG.由①知BE=CF，
∴BE=CG.
∴BE²=BC·CE.
(2)延长AE、DC交于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB//CD.
∴∠N=∠EAB.
　又
∵∠CEN=∠BEA,
∴△CEN∽△BEA.
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CN}$，即BE·CN=AB·CE.
∵AB=BC,BE²=BC·CE,
∴CN=BE.
∵AB//DN,
∴$\frac{AM}{CN}=\frac{GM}{GC}=\frac{BM}{CF}$.
∵AM=MB,
∴FC=CN=BE.
　不妨设正方形ABCD的边长为1，BE=x，
　由BE²=BC·CE可得x²=1·(1 - x)，
　解得$x_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去负值),
∴CF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$\frac{CF}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$