《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

（舟山中考）某挖掘机的底座高AB = 0.8 m，动臂BC = 1.2 m，CD = 1.5 m，BC与CD的固定夹角∠BCD = 140°。挖掘机的初始位置如图①所示，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE = 70°（如图②）。如图③所示，工作时动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（如图④）。
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数。
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1 m）？
（参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，$\sqrt{3}$≈1.73。）


解析：（1）如图⑤，过点C作CG⊥AM于点G。
∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//CG//DE。∴∠DCG = 180° - ∠CDE = 110°。
∴∠BCG = ∠BCD - ∠DCG = 30°。∴∠ABC = 180° - ∠BCG = 150°。


（2）如图⑥，过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N。
在Rt△CPD中，DP = CD·cos 70°≈0.51，
在Rt△BCN中，CN = BC·cos 30°≈1.038，
∴DE = DP + PQ + QE = DP + CN + AB≈2.348。
如图⑦，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K。
∴四边形ACKH为矩形。∴KH = AC = AB + BC = 2。
在Rt△CKD中，DK = CD·sin 50°≈1.155，
∴DH = DK + KH≈3.155。
∴DH - DE≈3.155 - 2.348≈0.8(m)。
∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8 m。

答案：