《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

12. 已知反比例函数$y=\frac{m - 7}{x}$的图象的一支位于第一象限。
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求$m$的取值范围。
（2）如图，$O$为坐标原点，点$A$在该反比例函数位于第一象限的图象上，点$B$与点$A$关于$x$轴对称，连接$AB$，交$x$轴于点$C$。若$\triangle OAB$的面积为6，求$m$的值。

答案：

(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且$m - 7＞0$，则$m＞7$.
(2)如图，$\because$点$B$与点$A$关于$x$轴对称，且$\triangle OAB$的面积为6，$\therefore\triangle OAC$的面积为3.
　设$A\left(x,\frac{m - 7}{x}\right)$，则$\frac{1}{2}x\cdot\frac{m - 7}{x}=3$，解得$m = 13$.
　　　　　　

13. 如图，一次函数$y = -x + 5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象在第一象限内交于$A(1,n)$和$B$两点。
（1）求反比例函数的解析式。
（2）在第一象限内，当一次函数$y = -x + 5$的值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的值时，写出自变量$x$的取值范围。

答案：
(1)$\because$一次函数$y=-x + 5$的图象过点$A(1,n)$，$\therefore n=-1 + 5 = 4$.$\therefore$点$A$的坐标为$(1,4)$.
　$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象过点$A(1,4)$，
　$\therefore k = 4$.$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$.
(2)联立$\begin{cases}y=-x + 5\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = 1\\y_1 = 4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = 4\\y_2 = 1\end{cases}$，
　即点$B$的坐标为$(4,1)$.在第一象限内，若一次函数$y=-x + 5$的值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的值，则$1＜x＜4$.

14. 如图，等腰直角三角形$ABC$位于第一象限，$AB = AC = 2$，直角顶点$A$在直线$y = x$上，其中$A$点的横坐标为1，且两条直角边$AB$，$AC$分别平行于$x$轴、$y$轴，若双曲线$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）与$\triangle ABC$有交点，则$k$的取值范围是（ ）。

A. $1＜k＜2$
B. $1\leq k\leq3$
C. $1\leq k\leq4$
D. $1\leq k＜4$

答案： $\because$点$A$在直线$y = x$上，且点$A$的横坐标为1，
　$\therefore$把$x = 1$代入$y = x$，解得$y = 1$.
　$\therefore$点$A$的坐标是$(1,1)$.
　$\because AB = AC = 2$，$\therefore B(3,1)$，$C(1,3)$.
　$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-x + 4$.
　当双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$A(1,1)$时，$k = 1$；
　当双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线$BC$相切时，$k = 4$.
　因而$1\leqslant k\leqslant4$.故选C.