《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

10. （1）如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P，求证$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$。
（2）如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于点M，N。
①如图②，若AB = AC = 1，请直接写出MN的长。
②如图③，求证MN² = DM·EN。

答案：
(1)在△ABQ中，
∵DP//BQ，
∴△ADP∽△ABQ.
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}$.
　同理在△ACQ中，$\frac{PE}{QC}=\frac{AP}{AQ}$，
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$.
(2)①$\frac{\sqrt{2}}{9}$. ②提示:利用$\frac{DM}{BG}=\frac{MN}{GF}=\frac{NE}{FC}$，△DBG∽△CEF.