《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

2. (南京中考)在△ABC中，∠C = 90°，点D为AB的中点，点M为射线AC上一点，点N为射线CB上一点，且DM⊥DN。
(1)如图①，①求证$\frac{DM}{DN}=\frac{BC}{AC}$；②若BC = 6，AC = 8，CM = 5，直接写出CN的长。
(2)如图②，过点M作MG⊥AB于点G，点H在AB的延长线上，且BH = DG，试判断NH与AB的位置关系，并说明理由。
解析：本题构造等比线段代换。
(1)①如图①，分别过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q，可证△DMQ∽△DNP，得$\frac{DM}{DN}=\frac{DQ}{DP}$，根据DQ=$\frac{1}{2}$BC，DP=$\frac{1}{2}$AC，推出$\frac{DM}{DN}=\frac{BC}{AC}$。
②计算得MQ = 1，DQ = 3，DP = 4，由△DMQ∽△DNP，得$\frac{DM}{DN}=\frac{MQ}{NP}=\frac{DQ}{DP}$，推出NP=$\frac{4}{3}$，从而得CN=$\frac{5}{3}$。
(2)NH⊥AB。
理由如下：如图②，过点D作DQ⊥AC于点Q，DP⊥BC于点P。由(1)证得$\frac{DM}{DN}=\frac{BC}{AC}$。根据△AMG∽△ABC，得$\frac{MG}{AG}=\frac{BC}{AC}$。又由AG = AD + DG = DB + BH = DH，则$\frac{MG}{DH}=\frac{DM}{DN}$。于是△MDG∽△DNH，推出∠DHN = ∠MGD = 90°，即NH⊥AB。

答案：