《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

11.（1）如图①，在△ABC中，O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N。
　　①若O是AC的中点，$\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$，求$\frac{CN}{BN}$的值。
　　（提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G。）
　　②若O是AC上任意一点（不与点A，C重合），求证$\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CO}{OA}=1$。
　　（2）如图②，P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{CE}$的值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)①$\frac{1}{3}$．
②由$\frac{NG}{BN}=\frac{AM}{MB},\frac{CO}{AO}=\frac{CN}{NG}$知$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CO}{OA}=$
$\frac{NG}{BN}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CN}{NG}=1$．
(2)由②知，在$\triangle ACD$中有$\frac{AE}{EC}\cdot \frac{BC}{BD}\cdot \frac{DP}{PA}=1$，在$\triangle ABD$中有$\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BC}{CD}\cdot \frac{DP}{PA}=1$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BC}{CD}\cdot \frac{BD}{BC}=\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BD}{CD}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．

1. 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。如在△ABC和△DEF中，若____________________，则△ABC∽△DEF。

答案：

2. 如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似。如在△ABC和△DEF中，若____________________，则△ABC∽△DEF。

答案：