《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

B级
6.如图，点O在线段AB上，AP = AB = 3，AO = 2，AQ//BP，∠QOP = ∠B，求证AQ·BP = 3.
　　　

答案： 提示：过点$O$作$OE// AP$交$BP$于点$E$，证明$△QAO\backsim△OEP$。

7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 10，DA = 5$\sqrt{5}$，求BD的长.
　　　　

答案： $2\sqrt{41}$

8.如图，在△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB，AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB = kAE，AC = kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
　

答案： 结论：$HE = HF$。
理由如下：
作$EP⊥GA$，$FQ⊥GA$，垂足分别为$P$，$Q$。
∵四边形$ABME$是矩形，
∴$∠BAE = 90^{\circ}$，
∴$∠BAG+∠EAP = 90^{\circ}$。
∵$AG⊥BC$，
∴$∠BAG+∠ABG = 90^{\circ}$，
∴$∠ABG = ∠EAP$。
∵$∠AGB = ∠EPA = 90^{\circ}$，
∴$△ABG\backsim△EAP$，
∴$\frac{AG}{EP}=\frac{AB}{EA}$。
同理可得$△ACG\backsim△FAQ$，
∴$\frac{AG}{FQ}=\frac{AC}{FA}$。
∵$AB = kAE$，$AC = kAF$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}=k$，
∴$\frac{AG}{EP}=\frac{AG}{FQ}$，
∴$EP = FQ$。
∵$∠EHP = ∠FHQ$，$∠EPH = ∠FQH = 90^{\circ}$，
∴$Rt△EPH\cong Rt△FQH$，
∴$HE = HF$。

探究园地
9.(1)【问题】如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC = ∠A = ∠B = 90°.求证AD·BC = AP·BP.
(2)【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC = ∠A = ∠B = θ时，上述结论是否仍然成立？说明理由.
(3)【应用】请利用(1)(2)获得的经验解决问题，如图③，在△ABD中，AB = 6，AD = BD = 5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC = ∠A.设点P的运动时间为t(单位：s)，当以点D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)略。
(2)结论仍成立，理由略。
(3)过点$D$作$DE⊥AB$于点$E$。
∵$AD = BD = 5$，$AB = 6$，
∴$AE = BE = 3$，由勾股定理得$DE = 4$。
∵以点$D$为圆心，以$DC$为半径的圆与$AB$相切，
∴$DC = DE = 4$，
∴$BC = 1$。
∵$AD = BD$，
∴$∠A = ∠B$。
由
(1)
(2)可知，$AD\cdot BC = AP\cdot BP$。
又
∵$AP = t$，$BP = 6 - t$，
∴$t(6 - t)=5$。
解得$t_{1}=1$，$t_{2}=5$。经检验均符合题意，
∴$t$的值为1或5。