《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例1 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行。点P(3a，a)是反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0)的图象与正方形的一个交点。若图中阴影部分的面积为9，则这个反比例函数的解析式为______________。
分析：如图，根据正方形是以点O为中心的中心对称图形，将第三象限阴影部分绕点O顺时针旋转180°，恰好与第一象限空白部分重合。所以正方形的面积为9×4 = 36，所以正方形边长为6。正方形又是轴对称图形，P(3a，a)是反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0)图象上的点，所以正方形边长为3a×2 = 6a = 6，于是a = 1。所以k = 3×1 = 3。反比例函数的解析式为y = $\frac{3}{x}$。
解：y = $\frac{3}{x}$。

答案： y = $\frac{3}{x}$。

例2 如图，直线y = k₁x(x≥0)与双曲线y = $\frac{k₂}{x}$(x＞0)相交于点P(2，4)。已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'。过点A'作A'C//y轴交双曲线于点C。
(1)求k₁，k₂的值。
(2)求直线PC的解析式。
(3)直接写出线段AB在移动时扫过的面积。
分析：(1)把点P(2，4)分别代入直线y = k₁x，双曲线y = $\frac{k₂}{x}$，得k₁，k₂的值。
(2)根据平移的性质，求得C(6，$\frac{4}{3}$)，再运用待定系数法，即可得到直线PC的解析式。
(3)延长A'C交x轴于点D，过B'作B'E⊥y轴于点E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB在移动时扫过的面积 = □POBB'的面积 + □AOPA'的面积。
解：(1)把点P(2，4)代入直线y = k₁x，得4 = 2k₁，∴k₁ = 2。
把点P(2，4)代入双曲线y = $\frac{k₂}{x}$，得k₂ = 2×4 = 8。
(2)∵A(4，0)，B(0，3)，∴AO = 4，BO = 3。
由平移可得，A'P = AO = 4。
又∵A'C//y轴，P(2，4)，∴点C的横坐标为2 + 4 = 6。
当x = 6时，y = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$，即C(6，$\frac{4}{3}$)。
设直线PC的解析式为y = kx + b，
把P(2，4)，C(6，$\frac{4}{3}$)代入，得$\begin{cases}4 = 2k + b\\\frac{4}{3} = 6k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{2}{3}\\b = \frac{16}{3}\end{cases}$。
∴直线PC的解析式为y = -$\frac{2}{3}$x + $\frac{16}{3}$。
(3)如图，延长A'C交x轴于点D，由平移可得A'P//AO。
又∵A'C//y轴，P(2，4)，
∴点A'的纵坐标为4，即A'D = 4。
如图，过B'作B'E⊥y轴于点E，
∵PB'//y轴，P(2，4)，
∴点B'的横坐标为2，即B'E = 2。
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB在移动时扫过的面积S_{□ABB'A'} = S_{□ABB'A'} - S_{△A'PB'} + S_{△AOB}
= S_{□POBB'} + S_{□AOPA'}
= BO·B'E + AO·A'D
= 3×2 + 4×4 = 22。

答案：
(1)把点P(2，4)代入直线y = k₁x，得4 = 2k₁，
∴k₁ = 2。
把点P(2，4)代入双曲线y = $\frac{k₂}{x}$，得k₂ = 2×4 = 8。
(2)
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴AO = 4，BO = 3。
由平移可得，A'P = AO = 4。
又
∵A'C//y轴，P(2，4)，
∴点C的横坐标为2 + 4 = 6。
当x = 6时，y = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$，即C(6，$\frac{4}{3}$)。
设直线PC的解析式为y = kx + b，
把P(2，4)，C(6，$\frac{4}{3}$)代入，得$\begin{cases}4 = 2k + b\\\frac{4}{3} = 6k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{2}{3}\\b = \frac{16}{3}\end{cases}$。
∴直线PC的解析式为y = -$\frac{2}{3}$x + $\frac{16}{3}$。
(3)如图，延长A'C交x轴于点D，由平移可得A'P//AO。
又
∵A'C//y轴，P(2，4)，
∴点A'的纵坐标为4，即A'D = 4。
如图，过B'作B'E⊥y轴于点E，
∵PB'//y轴，P(2，4)，
∴点B'的横坐标为2，即B'E = 2。
又
∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB在移动时扫过的面积S_{□ABB'A'} = S_{□ABB'A'} - S_{△A'PB'} + S_{△AOB}
= S_{□POBB'} + S_{□AOPA'}
= BO·B'E + AO·A'D
= 3×2 + 4×4 = 22。