《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

8.如图①，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC于点E.
　　(1)求证△ABF∽△COE.
　　(2)当O为AC的中点，$\frac{AC}{AB}=2$时，如图②,求$\frac{OF}{OE}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 8.
(1)证明略.
(2)过点O作AC的垂线交BC于点H，则OH//AB，证△OEH∽△OFA，得$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，由OH为△ABC的中位线和$\frac{AC}{AB}=2$，推出$\frac{OF}{OE}=2$.

9.如图①,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,∠ABC=2∠BCD=
2∠α.
　　(1)求证BD²=AD·BC.
　　(2)若点M,N分别在AD,CD上,连接BN,BM,MN，且∠BNC=
∠BMD.
　　①若∠α=30°(如图②)，求证CN=$\sqrt{3}$MD.
　　②若∠α=45°,以BM为边作正方形BMNE,NE交BC于点F(如图③),当AB=3,MD=2时，直接写出△FEC的面积是____________.
　　　　　　　　

答案： 9.
(1)证明略.
(2)①连接BD，则△BMD∽△BNC，
∴$\frac{CN}{MD}=\frac{BC}{BD}$.
设AB=AD=x，则BD=CD=$\sqrt{3}x$，
∴BC=3x，$\frac{CN}{MD}=\frac{BC}{BD}=\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{3}MD$.
②连接BD，过点E作EH⊥BC于点H.
∵AB=AD=3，MD=2，
∴AM=AD - MD=1.
∵AD//BC，AD=AB，∠ABC=2∠BCD=90°，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=∠DBC=∠BCD=45°.
∴BD=CD=3$\sqrt{2}$，BC=6.
∵四边形BMNE为正方形，
∴MB=BE，∠ABC=∠MBE=∠BEN=90°.
∵∠ABC=∠ABM+∠MBC，
∠MBE=∠MBC+∠EBH，
∴∠ABM=∠EBH.
又
∵∠BAD=∠BHE=90°，MB=BE，
∴Rt△ABM≌Rt△HBE.
∴EH=AM=1，BH=AB=3.
在Rt△EBH和Rt△FEH中，
∠HBE+∠BEH=∠BEH+∠HEF=90°，
∴∠HBE=∠HEF.
∴Rt△EBH∽Rt△FEH.
∴$\frac{BH}{EH}=\frac{EH}{FH}$，$\frac{3}{1}=\frac{1}{FH}$.
∴FH=$\frac{1}{3}$.
∴BF=BH+FH=3+$\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$，FC=BC - BF=6 - $\frac{10}{3}=\frac{8}{3}$.
∴$S_{\triangle FEC}=\frac{1}{2}FC\cdot EH=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}\times1=\frac{4}{3}$.