《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

11. 如图，在平面直角坐标系中，函数y = x + b的图象与函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象相交于点B(1，6)，并与x轴交于点A。点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2∶3。
(1)求k和b的值。
(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C'落在x轴的正半轴上，得到△OA'C'，判断点A'是否在函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，并说明理由。

答案：

(1)
∵函数y = x + b的图象与函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象相交于点B(1,6)，
∴6 = 1 + b，6 = $\frac{k}{1}$.
∴b = 5，k = 6.
(2)点A'不在函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，理由如下.
　如图.过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A'作A'G⊥x轴于点G，
∵点B(1,6)，
∴ON = 1，BN = 6.
∵△OAC与△OAB的面积比为2:3，
∴$\frac{S_{\triangle OAC}}{S_{\triangle OAB}}$ = $\frac{\frac{1}{2}OA\cdot CM}{\frac{1}{2}OA\cdot BN}$ = $\frac{2}{3}$.
∴$\frac{CM}{BN}$ = $\frac{2}{3}$.
∴CM = $\frac{2}{3}$BN = 4，即点C的纵坐标为4.
　把y = 4代入y = x + 5，得x = -1，
∴C(-1,4).
∴OC' = OC = $\sqrt{OM^2 + CM^2}$ = $\sqrt{1^2 + 4^2}$ = $\sqrt{17}$.
∵y = x + 5中，当y = 0时，x = -5.
∴OA = 5.
　由旋转的性质，得△OAC≌△OA'C'，
∴$\frac{1}{2}$OA·CM = $\frac{1}{2}$OC'·A'G.
∴A'G = $\frac{OA\cdot CM}{OC'}$ = $\frac{5×4}{\sqrt{17}}$ = $\frac{20\sqrt{17}}{17}$.
　在Rt△A'OG中，
　OG = $\sqrt{A'O^2 - A'G^2}$
　= $\sqrt{5^2 - (\frac{20\sqrt{17}}{17})^2}$ = $\frac{5\sqrt{17}}{17}$，
∴点A'的坐标为($\frac{5\sqrt{17}}{17}$,$\frac{20\sqrt{17}}{17}$).
∵$\frac{5\sqrt{17}}{17}$×$\frac{20\sqrt{17}}{17}$≠6，
∴点A'不在函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上.