《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

23. 已知点$A(a,m)$在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，且$m＜0$，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$B$．
(1)如图①，当$a=-2$时，$P(t,0)$是$x$轴上的动点，将点$B$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$至点$C$．
①若$t = 1$，直接写出点$C$的坐标；②若双曲线$y=\frac{8}{x}$经过点$C$，求$t$的值．
(2)如图②，将图①中的双曲线$y=\frac{8}{x}(x＞0)$沿$y$轴折叠得到双曲线$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$，将线段$OA$绕点$O$旋转，点$A$刚好落在双曲线$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$上的点$D(d,n)$处，求$m$和$n$的数量关系．

答案：
23.
(1)①C(1,3).
　②如图，由题意，得C(t,t + 2).
　　　　　　
∵点C在双曲线y = $\frac{8}{x}$的图象上，
∴t(t + 2)=8.
　解得t₁ = -4，t₂ = 2.
(2)如图
　　　　　　
　①当点A与点D关于x轴对称时，
∵A(a,m).D(d,n)，
∴m + n = 0.
　②当点A绕点O旋转90°时，得到点D'，
　点D'在双曲线y = -$\frac{8}{x}$(x＜0)上，
　过点D'作D'H⊥y轴于点H,则△ABO≌△D'HO,
∴OB = OH,AB = D'H.
∵A(a,m).
∴D'(m,-a)，即D'(m,n).
∵点D'在双曲线y = -$\frac{8}{x}$(x＜0)上，
∴mn = -8.
　综上所述，满足条件的m,n的数量关系是m + n = 0或mn = -8.