《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例 如图，在□ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N，求证$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}$。
分析：可证△AMB∽△AND，进而得到$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$，由于BC = AD，则$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{BC}$。由AD//BC得∠DAM = ∠AMB = 90°，则∠MAN = 90° - ∠DAN，得∠MAN = ∠D，所以∠B = ∠MAN，可判断△AMN∽△BAC。
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B = ∠D，AD = BC。
∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB = ∠AND = 90°。∴△AMB∽△AND。
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$，而AD = BC，即$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{BC}$。∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$。 ①
∵AD//BC，∴∠DAM = ∠AMB = 90°。
∵∠MAN = 90° - ∠DAN，而∠D = 90° - ∠DAN，
∴∠MAN = ∠D。又∵∠D = ∠B，
∴∠B = ∠MAN。 ②
由①②得△AMN∽△BAC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}$。

答案：

1. (青岛中考)如图，设P是等边三角形ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，求证BP·PC = BM·CN。
解析：将BP·PC = BM·CN转化为比例式$\frac{BP}{CN}=\frac{BM}{PC}$，再运用“三点定形法”确定目标相似三角形，即证△MPB∽△PNC即可。而由AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，知△AMN≌△PMN，推出∠BMP = ∠CPN，从而△MPB∽△PNC。

答案：