《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

24. 【背景】点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，$AB\perp x$轴于点$B$，$AC\perp y$轴于点$C$，分别在射线$AC$，$BO$上取点$D$，$E$，使得四边形$ABED$为正方形．如图①，点$A$在第一象限内，当$AC = 4$时，小李测得$CD = 3$．
【探究】通过改变点$A$的位置，小李发现点$A$，$D$的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求$k$的值．
(2)设点$A$和点$D$的横坐标分别为$x$，$z$，将$z$关于$x$的函数称为“$Z$函数”．如图②，小李画出了$x＞0$时“$Z$函数”的图象．
①求这个“$Z$函数”的解析式．
②补画$x＜0$时“$Z$函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)．
③过点$(3,2)$作一直线，与这个“$Z$函数”的图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

答案：
24.
(1)
∵AC = 4,CD = 3，
∴AD = AC - CD = 1.
∵四边形ABED是正方形，
∴AB = 1.
∵AC⊥y轴.AB⊥x轴，
∴∠ACO = ∠COB = ∠OBA = 90°.
∴四边形ABOC是矩形.
∴OB = AC = 4,
∴A(4,1).
∴k = 4.
(2)①由题意，A(x,x - z)，
∴x(x - z)=4.
∴z = x - $\frac{4}{x}$
　②图象如图所示.
性质1:x＞0时，z随x的增大而增大.
性质2:图象是中心对称图形
③设直线的解析式为z = mx + n,
把(3,2)代入，得2 = 3m + n,
∴n = 2 - 3m.
∴直线的解析式为z = mx + 2 - 3m.
由$\begin{cases}z = mx + 2 - 3m\\z=x-\frac{4}{x}\end{cases}$消去z,
化简整理得(m - 1)x²+(2 - 3m)x + 4 = 0.
当m≠1时，若Δ = 0,则有(2 - 3m)² - 4(m - 1)×4 = 0，
解得m₁ = $\frac{10}{9}$,m₂ = 2.
当m = $\frac{10}{9}$时，方程为$\frac{1}{9}$x² - $\frac{4}{3}$x + 4 = 0，
解得x₁ = x₂ = 6.
当m = 2时，方程为x² - 4x + 4 = 0，
解得x₁ = x₂ = 2.
当m = 1时，方程的解为x = 4，符合题意
另外直线x = 3也符合题意，此时交点的横坐标为3.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.