《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

21. 已知锐角三角形ABC中，边BC的长为12，高AD的长为8.
(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.
①求$\frac{EF}{AK}$的值.
②设EH = x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数解析式，并求S的最大值.
(2)若AB = AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.

答案：
(1)①$\frac{3}{2}$.
②
∵EH = x，
∴KD = EH = x，AK = 8 - x.
∵$\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$(8 - x).
∴S = EH·EF
=$\frac{3}{2}$x(8 - x)=-$\frac{3}{2}$(x - 4)² + 24，
∴当x = 4时，S的最大值是24.
(2)$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$.

22. 如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，且不与点B，C重合. ⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC = DC·AB. 设△ABE的面积为$S_{1}，$△ACD的面积为$S_{2}．$
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
(2)若BC = BE，$S_{2}= mS_{1}，$求常数m的值.

答案：

(1)直线EA与⊙O相切，理由如下:
如图，连接OA，

∵DA·AC = DC·AB，
∴$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°=∠ADC.
∴△ABC∽△DAC.
∴∠ACB=∠ACD.
∵OA = OC，
∴∠OAC=∠ACB=∠ACD.
∴OA//CD.
∴∠OAE=∠CDE = 90°.
∴OA⊥DE.
又
∵OA为⊙O的半径，
∴直线EA与⊙O相切.
(2)如图，
∵OA//CD，
∴△AOE∽△DCE.
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OE}{EC}$.
设BO = OC = OA = a，则BC = 2a.
∵BC = BE = 2a，
∴S△ABE=S△ABC，EO = 3a，EC = 4a.
∴$\frac{a}{CD}$=$\frac{3a}{4a}$.
∴CD=$\frac{4}{3}$a.
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AC}{CD}$.
∴AC² = BC·CD=$\frac{8}{3}$a².
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$=($\frac{AC}{BC}$)²=$\frac{2}{3}$.
∴S₂=$\frac{2}{3}$S₁.
∴m=$\frac{2}{3}$.