《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

典例精讲
例 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.

(1)试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明.
(2)若AC = 6，BC = 8，求线段PD的长.
分析：(1)可证△ACE和△BCF均为等腰直角三角形，从而得CE = AE，CF = BF，进而得出结论BF - AE = EF.
(2)由△PDA∽△PCD得$\frac{PD}{PC}=\frac{PA}{PD}=\frac{AD}{DC}=\frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=\frac{5}{7}$，所以$PA=\frac{5}{7}PD$，$PC=\frac{7}{5}PD$，然后利用$PC = PA + AC$可计算出PD.
解：(1)BF - AE = EF.理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∠ACB = 90°，∠ACE = ∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ACE = ∠CAE = 45°，∠BCF = ∠CBF = 45°.∴AE = CE，BF = CF，CF = CE + EF = AE + EF，故BF - AE = EF.
(2)在Rt△ACB中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 10$.
∵△DAB为等腰直角三角形，∴$AD=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形，得$AE = CE=\frac{AC}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
在Rt△AED中，$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}} = 4\sqrt{2}$，
∴$CD = CE + DE = 3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.
∵∠PDA = ∠PCD，∠P = ∠P，∴△PDA∽△PCD.
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{PA}{PD}=\frac{AD}{DC}=\frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=\frac{5}{7}$.
∴$PA=\frac{5}{7}PD$，$PC=\frac{7}{5}PD$.
而$PC = PA + AC$，∴$\frac{5}{7}PD + 6=\frac{7}{5}PD$，$PD=\frac{35}{4}$.

答案：