《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例2 如图①，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 15°，不用计算器，求tan 15°的值.
　　　　
分析：添加辅助线，构造特殊三角形，利用特殊三角形的边角关系推导出tan 15°的值.
解法一：作点C关于AB的对称点E，连接EB，AE，并延长AE交CB的延长线于点D(如图②)，则∠CAE = 30°，∠D = 60°.
令ED = a，∴BD = 2a，CB = EB =$\sqrt{3}a$.∴AC =$\sqrt{3}CD=\sqrt{3}\times(2a + \sqrt{3}a)$.
∴tan 15° = tan∠CAB =$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}\times(2 + \sqrt{3})a}=2 - \sqrt{3}$.
解法二：以AC为边在AB同侧作∠CAD = 30°，延长CB交AD于点D，延长AC至点F，使AF = AD，连接DF(如图③)，则∠ADF = ∠AFD = 75°，∴∠CDF = 15°.
令CD = a，∴AC =$\sqrt{3}a$，AF = AD = 2a，CF = 2a - $\sqrt{3}a$.
∴tan 15° = tan∠CDF =$\frac{CF}{CD}=2 - \sqrt{3}$.
解法三：以AC为边在AB异侧作∠CAH = 30°，延长BC交AH于点H，作BG⊥AH于点G(如图④)，则∠HAB = 45°，∠AHB = 60°，∴∠GBH = 30°.
令GH = a，∴BH = 2a，AG = GB =$\sqrt{3}a$，AH = a + $\sqrt{3}a$，CH =$\frac{1}{2}(a + \sqrt{3}a)$.
∴BC = 2a - $\frac{1}{2}(a + \sqrt{3}a)$，AC =$\frac{\sqrt{3}}{2}(a + \sqrt{3}a)$.
∴tan 15° = tan∠CAB =$\frac{BC}{AC}=2 - \sqrt{3}$.

答案：