《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

2. (德州中考)有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y = $\frac{1}{k}$x与y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象性质。小明根据学习函数的经验，对函数y = $\frac{1}{k}$x与y = $\frac{k}{x}$，当k＞0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程。
(1)如图，设函数y = $\frac{1}{k}$x与y = $\frac{k}{x}$图象的交点为A，B。已知点A的坐标为(-k，-1)，则点B的坐标为________。
(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点。
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N，求证PM = PN。
证明过程如下：设P(m，$\frac{k}{m}$)，直线PA的解析式为y = ax + b(a≠0)。
则$\begin{cases}-ka + b = -1\\ma + b = \frac{k}{m}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = ________\\b = ________\end{cases}$。
所以，直线PA的解析式为______________。
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明。
②当点P的坐标为(1，k)(k≠1)时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积。
分析：(1)利用反比例函数的对称性质可知点A和点B关于原点对称，从而求出B(k，1)。
(2)①解方程组$\begin{cases}-ka + b = -1\\ma + b = \frac{k}{m}\end{cases}$，直线PA的解析式为y = $\frac{1}{m}$x + $\frac{k}{m}$ - 1，求出M(m - k，0)；同理求出N(m + k，0)，过点P作PH⊥x轴于点H，得H(m，0)，∴MH = NH = k，最后利用线段垂直平分线的性质知PM = PN。
②分两种情况讨论：当k＞1时，如图①，S_{△PAB} = S_{△PMN} - S_{△OBN} + S_{△OAM} = k² - 1；
当0＜k＜1时，如图②，S_{△PAB} = S_{△OBN} - S_{△PMN} + S_{△OAM} = 1 - k²。
解：(1)因为点A和点B关于原点对称，所以点B的坐标为(k，1)。
(2)①证明：设P(m，$\frac{k}{m}$)，直线PA的解析式为y = ax + b(a≠0)。
则$\begin{cases}-ka + b = -1\\ma + b = \frac{k}{m}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{m}\\b = \frac{k}{m}-1\end{cases}$。
∴直线PA的解析式为y = $\frac{1}{m}$x + $\frac{k}{m}$ - 1。
令y = 0，得x = m - k，∴点M的坐标为(m - k，0)。
过点P作PH⊥x轴于点H，∴点H的坐标为(m，0)。
∴MH = x_H - x_M = m - (m - k) = k。
同理可得：HN = k，∴PM = PN。
②由①知，在△PMN中，PM = PN，∴△PMN为等腰三角形，且MH = HN = k。
当P点坐标为(1，k)时，则有OH = 1，PH = k，∴MH = HN = PH。
∴∠PMH = ∠MPH = 45°，∠PNH = ∠NPH = 45°。
∴∠MPN = 90°，即∠APB = 90°。
∴△PAB为直角三角形。
当k＞1时，如图①，
S_{△PAB} = S_{△PMN} - S_{△OBN} + S_{△OAM}
= $\frac{1}{2}$MN·PH - $\frac{1}{2}$ON·y_B + $\frac{1}{2}$OM·|y_A|
= $\frac{1}{2}$×2k×k - $\frac{1}{2}$(k + 1)×1 + $\frac{1}{2}$(k - 1)×1
= k² - 1。
当0＜k＜1时，如图②，
S_{△PAB} = S_{△OBN} - S_{△PMN} + S_{△OAM}
= $\frac{1}{2}$ON·y_B - k² + $\frac{1}{2}$OM·|y_A|
= $\frac{1}{2}$(k + 1)×1 - k² + $\frac{1}{2}$(1 - k)×1
= 1 - k²。

答案：
(1)因为点A和点B关于原点对称，所以点B的坐标为(k，1)。
(2)①证明：设P(m，$\frac{k}{m}$)，直线PA的解析式为y = ax + b(a≠0)。
则$\begin{cases}-ka + b = -1\\ma + b = \frac{k}{m}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{m}\\b = \frac{k}{m}-1\end{cases}$。
∴直线PA的解析式为y = $\frac{1}{m}$x + $\frac{k}{m}$ - 1。
令y = 0，得x = m - k，
∴点M的坐标为(m - k，0)。
过点P作PH⊥x轴于点H，
∴点H的坐标为(m，0)。
∴MH = x_H - x_M = m - (m - k) = k。
同理可得：HN = k，
∴PM = PN。
②由①知，在△PMN中，PM = PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH = HN = k。
当P点坐标为(1，k)时，则有OH = 1，PH = k，
∴MH = HN = PH。
∴∠PMH = ∠MPH = 45°，∠PNH = ∠NPH = 45°。
∴∠MPN = 90°，即∠APB = 90°。
∴△PAB为直角三角形。
当k＞1时，如图①，
S_{△PAB} = S_{△PMN} - S_{△OBN} + S_{△OAM}
= $\frac{1}{2}$MN·PH - $\frac{1}{2}$ON·y_B + $\frac{1}{2}$OM·|y_A|
= $\frac{1}{2}$×2k×k - $\frac{1}{2}$(k + 1)×1 + $\frac{1}{2}$(k - 1)×1
= k² - 1。
当0＜k＜1时，如图②，
S_{△PAB} = S_{△OBN} - S_{△PMN} + S_{△OAM}
= $\frac{1}{2}$ON·y_B - k² + $\frac{1}{2}$OM·|y_A|
= $\frac{1}{2}$(k + 1)×1 - k² + $\frac{1}{2}$(1 - k)×1
= 1 - k²。