《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

典例精讲
例 在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$.
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论.
(3)如图③，若BA = BC = 6，DA = DC = 8，∠BAD = 90°，DE⊥CF，请直接写出$\frac{DE}{CF}$的值.
　　　　
分析：(1)根据三点定形法，可以直接证明△ADE∽△DCF.(2)△DAE与△CFD不相似，有一对角是互补关系，可以通过构造相似三角形来证明.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A = ∠ADC = 90°.∴∠DFC + ∠DCF = 90°.
∵DE⊥CF，∴∠DFG + ∠ADE = 90°.∴∠ADE = ∠DCF.
∴△ADE∽△DCF.∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$.
(2)解：当∠B + ∠EGC = 180°时，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立.证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM = CF，则∠CMF = ∠CFM.
∵AB//CD，∴∠A = ∠CDM.
∵∠B + ∠EGC = 180°，∴∠AED = ∠FCB，∠CMF = ∠AED.
∴△ADE∽△DCM.∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，即$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$.
此小题还有多种不同的解法，请同学们深入思考.
(3)解：如图③，连接AC，BD，交于点H.可证△ACF∽△BDE，∴$\frac{DE}{CF}=\frac{BD}{AC}$.
在Rt△ABD中，可求出BD = 10，AH =$\frac{24}{5}$，∴AC =$\frac{48}{5}$，$\frac{DE}{CF}=\frac{25}{24}$.

答案：