《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例 如图①，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 2，∠A = 30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF。
(1) 线段BE与AF的位置关系是________，$\frac{AF}{BE}$ = ________。
(2) 如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转∠α(0°＜∠α＜180°)时，连接AF，BE，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。
分析：(1) 结合已知角并利用直角三角形的性质求出AC的长；(2) 利用已知可证△BEC∽△AFC，进而得出∠1 = ∠2即可。
解：(1) 互相垂直；$\sqrt{3}$。
(2) 此时(1)中结论仍然成立，证明如下：
∵ 如图②，由图形旋转性质可知$EC = \frac{1}{2}BC$，$FC = \frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{EC}{BC} = \frac{FC}{AC} = \frac{1}{2}$。
∵ ∠BCE = ∠ACF = ∠α，∴ △BEC∽△AFC。∴ $\frac{AF}{BE} = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}$，∠1 = ∠2。
延长BE交AC于点O，交AF于点M。
∵ ∠BOC = ∠AOM，∠1 = ∠2，∴ ∠BCO = ∠AMO = 90°，∴ BE⊥AF。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

1. (九江中考) 如图，在△ABC中，AB = AC = 1，$BC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD = BC，连接BD，求∠ABD的度数。
解析：先求得AD，CD的长，得到$BC^{2} = AC\cdot CD$，然后依据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCD∽△ACB，可知∠DBC = ∠A，DB = CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数为36°。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

2. (武汉中考) 已知△ABC中，$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = 4\sqrt{5}$，BC = 6。
(1) 如图①，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长。
(2) 图②是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形。
① 请你在所给的网格中画出格点△A₁B₁C₁与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)。
② 直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)。
解析：(1) 分两种情况讨论：① 当△AMN∽△ABC时，如图③，MN = 3。② 当△AMN∽△ACB时，如图④，MN = 1.5。
(2) ① 如图⑤所示。② 每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个；图⑥为其中的4个。

　　　　　　　

答案：