《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

13. 在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，∠BAC = 30°，BC = 5.过点A作AE⊥AB，且AE = 15，连接BE交AC于点P.
（1）求PA的长.
（2）如图①，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由.
（3）如图②，过点C作CD⊥AE，垂足为D.以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，求r和R的变化范围.

答案： 13.
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle BAC = 30^{\circ}$，$BC = 5$，$\therefore AC = 10$.$\because AE\perp AB$，$\therefore AE// BC$.$\therefore \triangle PAE\sim\triangle PCB$.$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{PA}{PC}$.$\because AE = 15$，$\therefore PA = 7.5$.
(2)BE与$\odot A$相切.理由如下.
在$Rt\triangle ABC$中，
$\because \angle BAC = 30^{\circ}$，$BC = 5$，$\therefore AB = 5\sqrt{3}$.
在$Rt\triangle ABE$中，$\because AB = 5\sqrt{3}$，$AE = 15$，
$\therefore \tan E=\frac{AB}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.$\therefore \angle E = 30^{\circ}$.
$\because \angle EAC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle E+\angle EAC = 90^{\circ}$.
$\therefore AP\perp BE$.$\therefore BE$与$\odot A$相切.
(3)$\because$点D在$\odot A$的内部，点B在$\odot A$的外部，
$\therefore AD＜r＜AB$.
$\therefore r$的变化范围为$5＜r＜5\sqrt{3}$.
当$\odot A$与$\odot C$外切时，$R + r = 10$，
$\therefore R$的变化范围为$10 - 5\sqrt{3}＜R＜5$；
当$\odot A$与$\odot C$内切时，$R - r = 10$，
$\therefore R$的变化范围为$15＜R＜10 + 5\sqrt{3}$.