《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

考题聚焦
(重庆中考)如图①，在□ABCD中，AB = 6，AD = 8，∠DEF = ∠B = 60°，∠EFD = 90°，求AF的长.
　
解析：可以分别以边AB、边BC构造“一线三等角”相似；或者改造三角形，使其与已知三角形相似.
方法1：如图②，构造“一线三等角”相似，作EM⊥AB于点M，DN⊥AB交BA的延长线于点N，设AF = a，证明△EMF∽△FND，可求出AF = a = 0.5.
方法2：如图③，构造“一线三等角”相似，作等边三角形DCH，△BFE∽△HED，可求出AF = 0.5.
方法3：如图④，“改斜归正”＋构造“一线三等角”相似，作FN⊥BC于点N，FM⊥AD交DA的延长线于点M，设AM = b，△DMF∽△FNE，可求出b = 0.25，AF = 0.5.

答案：

A级
1.如图，在梯形AEFD中，EF//AD，∠F = 90°，以AE为直径的⊙O交FD于点B，C，若AD = 3，BC = 4，CD = 1，求AE的长.
　　　　　　　

答案： $\frac{2\sqrt{85}}{3}$

2.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，若AB = 9，CD = 4，BD = 10，则在BD上是否存在点P，使得以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.
　　　　

答案： 这样的点$P$存在，$BP=\frac{90}{13}$