《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

19. 如图，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 10$。$D$为$\triangle ABC$外一点，连接$AD$，$BD$。过点$D$作$DH\perp AB$，垂足为$H$，交$AC$于点$E$。
(1) 若$\triangle ABD$是等边三角形，求$DE$的长。
(2) 若$BD = AB$，且$\tan\angle HDB = \frac{3}{4}$，求$DE$的长。

答案：
(1)$\because\triangle ABD$是等边三角形，$AB = 10$，$\therefore\angle ADB = 60^{\circ}$，$AD = AB = 10$。$\because DH\perp AB$，$\therefore AH=\frac{1}{2}AB = 5$。$\therefore DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}} = 5\sqrt{3}$。$\because\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\therefore\angle CAB = 45^{\circ}$。$\therefore\angle AEH = 45^{\circ}$。$\therefore EH = AH = 5$。$\therefore DE = DH - EH = 5\sqrt{3}-5$。
(2)$\because DH\perp AB$且$\tan\angle HDB=\frac{3}{4}$，$\therefore$可设$BH = 3k$，则$DH = 4k$，$BD = 5k$。$\because BD = AB = 10$，$\therefore 5k = 10$。解得$k = 2$，$\therefore DH = 8$，$BH = 6$，$AH = 4$。又$\because EH = AH = 4$，$\therefore DE = DH - EH = 4$。

20. 如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的$A$处朝正南方向撤退，红方在公路上的$B$处沿南偏西$60^{\circ}$方向前进实施拦截。红方行进1000m到达$C$处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，又朝南偏西$45^{\circ}$方向前进了相同的距离，刚好在$D$处成功拦截蓝方。求拦截点$D$处到公路的距离(结果保留根号)。

答案： 拦截点$D$处到公路的距离为$500(1+\sqrt{2})\ m$。

21. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB = AC$，$CO$的延长线交$AB$于点$D$。
(1) 求证$AO$平分$\angle BAC$。
(2) 若$BC = 6$，$\sin\angle BAC = \frac{3}{5}$，求$AC$和$CD$的长。

答案：
(1)连接$OB$。
$\because AO = AO$，$BO = CO$，$AB = AC$，
$\therefore\triangle AOB\cong\triangle AOC$。$\therefore\angle BAO=\angle CAO$。
即$AO$平分$\angle BAC$。
(2)$AC = 3\sqrt{10}$，$CD=\frac{90}{13}$。