《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

1. 本章主要学习了相似三角形的性质、判定及其在解决实际问题中的应用，还学习了一种特殊的相似图形的性质，即____________。

答案：

2. 相似三角形的判定方法有：______________________________。

答案：

3. 相似三角形的性质有：______________________________。

答案：

例 如图，点P为正方形ABCD内一点，且∠APB = 90°，延长AP交直线CD于点M，延长CP，DP分别交直线AB于点E，F。
(1)求证$\frac{AE}{CM}=\frac{AF}{DM}$。
(2)求证$EF^{2}=AF\cdot BE$。
分析：第(1)问用位似图形的性质易证；第(2)问根据第(1)问的思路，将线段比进行转化，再利用条件“∠APB = 90°”，证明△BNC∽△MAD即可。
证明：(1)∵AF//DM，
∴∠F = ∠FDM，∠FAP = ∠M，∠AEP = ∠MCP，
∴△AEP∽△MCP，△AFP∽△MDP。
∴$\frac{AE}{CM}=\frac{AP}{PM}=\frac{AF}{DM}$。
(2)延长BP交DM于点N。
由(1)可得$\frac{EF}{CD}=\frac{FP}{PD}=\frac{AF}{DM}$，∴$\frac{EF}{AF}=\frac{CD}{DM}=\frac{AD}{DM}$。
同理$\frac{EF}{CD}=\frac{FP}{PD}=\frac{EB}{CN}$，∴$\frac{EB}{EF}=\frac{CN}{CD}=\frac{CN}{BC}$。
又∵∠APB = 90°，∴∠PNM = ∠DAP。∴△BNC∽△MAD。
∴$\frac{CN}{BC}=\frac{AD}{DM}$。∴$EF^{2}=AF\cdot BE$。

答案：