《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

（绵阳中考）如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）与正比例函数$y = ax$相交于$A(1,k)$，$B(-k,-1)$两点。

（1）求反比例函数和正比例函数的解析式。
（2）将正比例函数$y = ax$的图象平移，得到一次函数$y = ax + b$的图象，与函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$两点，且$|x_1 - x_2|\cdot|y_1 - y_2| = 5$，求$b$的值。
解析：（1）依题意，得点$A(1,k)$与点$B(-k,-1)$关于原点对称，
∴$k = 1$，$A(1,1)$，$B(-1,-1)$。
∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为$y = \frac{1}{x}$，$y = x$。
（2）∵一次函数$y = x + b$的图象过点$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，
∴$\begin{cases}y_1 = x_1 + b \\ y_2 = x_2 + b \end{cases}$，①②
② - ①，得$y_2 - y_1 = x_2 - x_1$。
∵$|x_1 - x_2|\cdot|y_1 - y_2| = 5$，∴$|x_1 - x_2| = |y_1 - y_2| = \sqrt{5}$。
由$\begin{cases}y = x + b \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$，得$x^2 + bx - 1 = 0$，

解得$b = ±1$。

答案：