《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例2　　如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AD
的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 FD²=FB·FC.
　　分析:连接AF，利用垂直平分线的性质得出AF=DF,进而利用外角的性质得出∠B=∠1,即可得出△ACF∽△BAF.
　　证明:连接AF.∵AD的垂直平分线交AD于点E,
　　∴AF=DF,∠1+∠2=∠4.
　　∵∠B+∠3=∠4,∠2=∠3,∴∠B=∠1.
　　∵∠AFB=∠CFA,∴△ACF∽△BAF.
　　∴$\frac{AF}{FB}$=$\frac{FC}{AF}$,AF²=FB·FC,即FD²=FB·FC.

答案：

(武汉中考)在△ABC中，P为边AB上一点.
　　(1)如图①，若∠ACP=∠B,求证AC²=AP·AB.
　　(2)若M为CP的中点，AC=2.
　　①如图②，若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长.
　　②如图③，若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,求BP的长.
　　　　　　
　　解析:(1)证明△ACP∽△ABC即可.
　　(2)①如图②，作CQ//BM交AB的延长线于点Q，设BP=x，则PQ=2x.
　　由∠AQC=∠PBM=∠ACP,∠PAC=∠CAQ,推出△APC∽△ACQ.由
AC²=AP·AQ,得2²=(3 - x)(3 + x)，解得$x_1=\sqrt{5}$，$x_2=-\sqrt{5}$（舍去负值），即
BP=$\sqrt{5}$.
　　②如图③,过点C作CH⊥AB于点H，延长AB到点E，使BE=BP，则
BM//EC.同①可求得BP=$\sqrt{7}-1$.

答案：