《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 计算：
(1)$(-8^{2})^{3}$；(2)$(a^{m})^{2}$；(3)$[(-m)^{3}]^{4}$；
(4)$(a^{3 - m})^{2}$.
【思路导析】此题是幂的乘方运算.(1)题中的底数是 8,(2)题中的底数是 a,(3)题中的底数是 -m,(4)题中的底数 a 的指数是 3 - m,乘方以后的指数应是 2(3 - m) = 6 - 2m.

答案：
(1) $(-8^{2})^{3} = - (8^{2})^{3} = -8^{2×3} = -8^{6}$；
(2) $(a^{m})^{2} = a^{m×2} = a^{2m}$；
(3) $[(-m)^{3}]^{4} = (-m)^{3×4} = (-m)^{12} = m^{12}$；
(4) $(a^{3 - m})^{2} = a^{(3 - m)×2} = a^{6 - 2m}$.

例 2 计算：
(1)$(-\dfrac{1}{2}a^{3}b)^{2}$；(2)$-(-3a^{2}b^{3})^{4}$；
(3)$(-x^{3}y^{2})^{5}$；(4)$[(-x^{2}y)^{3}\cdot (-x^{2}y)^{2}]^{3}$.
【思路导析】按照积的乘方的运算法则,把积中的每一个因式分别乘方即可.

答案：
(1) $(-\dfrac{1}{2}a^{3}b)^{2}=(-\dfrac{1}{2})^{2}\cdot (a^{3})^{2}\cdot b^{2}=\dfrac{1}{4}a^{6}b^{2}$
(2) $-(-3a^{2}b^{3})^{4}=-[(-3)^{4}\cdot (a^{2})^{4}\cdot (b^{3})^{4}]=-(81a^{8}b^{12})=-81a^{8}b^{12}$
(3) $(-x^{3}y^{2})^{5}=(-1)^{5}\cdot (x^{3})^{5}\cdot (y^{2})^{5}=-x^{15}y^{10}$
(4) $[(-x^{2}y)^{3}\cdot (-x^{2}y)^{2}]^{3}=[(-x^{2}y)^{3+2}]^{3}=[(-x^{2}y)^{5}]^{3}=(-x^{2}y)^{15}=(-1)^{15}\cdot (x^{2})^{15}\cdot y^{15}=-x^{30}y^{15}$

例 3 计算：
(1)$(3×10^{2})^{3}×[(-10)^{3}]^{4}$；
(2)$[(m + n)^{2}]^{3}[-2(m + n)^{3}]^{2}$；
(3)$(-2xy^{2})^{6} + (-3x^{2}y^{4})^{3}$；
(4)$(-2a)^{6} - (-3a^{2})^{3} + [-(2a)^{2}]^{3}$.
【思路导析】解题关键是明确运算顺序：先算积的乘方,再算幂的乘方、同底数幂相乘,最后算加减,有括号的先算括号里面的.

答案：
(1) $(3×10^{2})^{3}×[(-10)^{3}]^{4}$
$=3^{3}×(10^{2})^{3}×[(-10)^{3}]^{4}$
$=27×10^{6}×(10^{3})^{4}$
$=27×10^{6}×10^{12}$
$=27×10^{18}$
$=2.7×10^{19}$
(2) $[(m + n)^{2}]^{3}[-2(m + n)^{3}]^{2}$
$=(m + n)^{6}×(-2)^{2}×[(m + n)^{3}]^{2}$
$=(m + n)^{6}×4×(m + n)^{6}$
$=4(m + n)^{12}$
(3) $(-2xy^{2})^{6} + (-3x^{2}y^{4})^{3}$
$=(-2)^{6}x^{6}(y^{2})^{6} + (-3)^{3}(x^{2})^{3}(y^{4})^{3}$
$=64x^{6}y^{12} - 27x^{6}y^{12}$
$=37x^{6}y^{12}$
(4) $(-2a)^{6} - (-3a^{2})^{3} + [-(2a)^{2}]^{3}$
$=(-2)^{6}a^{6} - [(-3)^{3}(a^{2})^{3}] + (-4a^{2})^{3}$
$=64a^{6} - (-27a^{6}) + (-64a^{6})$
$=64a^{6} + 27a^{6} - 64a^{6}$
$=27a^{6}$

例 4 用简便方法计算：
(1)$(-1\dfrac{2}{5})^{6}×0.25^{4}×(\dfrac{5}{7})^{6}×(-4)^{4}$；
(2)$0.125^{2024}×(-8)^{2025}$.
【思路导析】(1)观察该式的特点可知,需利用乘法的交换律和结合律,并逆用积的乘方法则计算：
(2)$8^{2025} = 8^{2024}×8$,故该式应逆用同底数幂的乘法和积的乘方法则计算.

答案：
(1) 原式$=(-\dfrac{7}{5})^{6}×0.25^{4}×(\dfrac{5}{7})^{6}×(-4)^{4}$
$=[(-\dfrac{7}{5})^{6}×(\dfrac{5}{7})^{6}]×[0.25^{4}×(-4)^{4}]$
$=[(-\dfrac{7}{5}×\dfrac{5}{7})]^{6}×[0.25×(-4)]^{4}$
$=(-1)^{6}×(-1)^{4}$
$=1×1$
$=1$
(2) 原式$=0.125^{2024}×(-8)^{2024}×(-8)$
$=[0.125×(-8)]^{2024}×(-8)$
$=(-1)^{2024}×(-8)$
$=1×(-8)$
$=-8$

例 5 已知$m^{a} = 25$,$m^{b} = 8$,求$m^{3a}\cdot m^{3b}$的值.
【思路导析】若把$m^{a}$,$m^{b}$分别作为一个整体,可以逆用幂的运算法则把$m^{3a}\cdot m^{3b}化为(m^{a})^{3}\cdot (m^{b})^{3} = (m^{a}\cdot m^{b})^{3}$,再代入$m^{a}$,$m^{b}$的值即可求解.
【示范解答】当$m^{a} = 25$,$m^{b} = 8$时,$m^{3a}\cdot m^{3b} = (m^{a})^{3}\cdot (m^{b})^{3} = (m^{a}\cdot m^{b})^{3} = (25×8)^{3} = 200^{3} = 8000000$.

答案： 根据题意，已知 $m^{a} = 25$，$m^{b} = 8$。
$m^{3a} \cdot m^{3b} $
$= (m^{a})^{3} \cdot (m^{b})^{3}$
$ = (m^{a} \cdot m^{b})^{3} $
$= (25 × 8)^{3} $
$= 200^{3} $
$= 8000000$
所以，$m^{3a} \cdot m^{3b}$ 的值为 $8000000$。