《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 如图 1 所示,在平面直角坐标系中,将直角三角形的顶点放在点 P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点 A 和点 B。
(1)求 OA + OB 的值；
(2)将直角三角形绕点 P 逆时针旋转,如图 2 所示,两直角边与坐标轴交于点 A 和点 B,求 OA - OB 的值。

答案：
(1)过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。
∵P(4,4)，
∴PC=PD=4，∠PCO=∠PDO=90°，∠CPD=90°。
∵∠APB=90°，
∴∠APC=∠BPD。
在△APC和△BPD中，
∠ACP=∠BDP=90°，PC=PD，∠APC=∠BPD，
∴△APC≌△BPD(ASA)。
∴AC=BD。
∵AC=OC-OA=4-OA，BD=OB-OD=OB-4，
∴4-OA=OB-4，
∴OA+OB=8。
(2)过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。
同理，PC=PD=4，∠CPD=90°=∠APB，
∴∠APC=∠BPD。
在△APC和△BPD中，
∠ACP=∠BDP=90°，PC=PD，∠APC=∠BPD，
∴△APC≌△BPD(ASA)。
∴AC=BD。
∵AC=OA-OC=OA-4，BD=OD+OB=4+OB，
∴OA-4=4+OB，
∴OA-OB=8。
(1)8；
(2)8。

9. 【问题情境】如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AD ⊥ BC 于点 D,可知：∠BAD = ∠C(不需要证明)。
【特列探究】如图 2,∠MAN = 90°,射线 AE 在这个角的内部,点 B,C 分别在∠MAN 的边 AM,AN 上,且 AB = AC,BD ⊥ AE 于点 D,CF ⊥ AE 于点 F. 求证：△ABD ≌ △CAF。

【拓展应用】如图 3,在△ABC 中,AB = AC,AB ＞ BC,点 D 在边 BC 上,点 E,F 在线段 AD 上,∠1 = ∠2 = ∠BAC。
(1)求证：△ABE ≌ △CAF；
(2)若 CD = 2BD,△ABC 的面积为 15,则△ACF 与△BDE 的面积之和为 5。
特例探究
证明：
∵∠MAN=90°，BD⊥AE，CF⊥AE，
∴∠ADB=∠CFA=90°，∠BAD+∠CAF=90°。
∵∠ABD+∠BAD=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠ABD=∠CAF（同角的余角相等）。
在△ABD和△CAF中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠CFA \\ ∠ABD=∠CAF \\ AB=AC \end{cases}$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）。
拓展应用
（1）证明：
设∠BAC=α，则∠1=∠2=α。
∵∠1=∠BAC，∠1=∠ABE+∠BAE（三角形外角性质），∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF。
∵∠2=∠BAC=α，∠2+∠AFC=180°（平角定义），∠1+∠AEB=180°（平角定义），
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases} ∠ABE=∠CAF \\ ∠AEB=∠CFA \\ AB=AC \end{cases}$，
∴△ABE≌△CAF（AAS）。

答案： 特例探究
证明：
∵∠MAN=90°，BD⊥AE，CF⊥AE，
∴∠ADB=∠CFA=90°，∠BAD+∠CAF=90°。
∵∠ABD+∠BAD=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠ABD=∠CAF（同角的余角相等）。
在△ABD和△CAF中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠CFA \\ ∠ABD=∠CAF \\ AB=AC \end{cases}$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）。
拓展应用
（1）证明：
设∠BAC=α，则∠1=∠2=α。
∵∠1=∠BAC，∠1=∠ABE+∠BAE（三角形外角性质），∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF。
∵∠2=∠BAC=α，∠2+∠AFC=180°（平角定义），∠1+∠AEB=180°（平角定义），
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases} ∠ABE=∠CAF \\ ∠AEB=∠CFA \\ AB=AC \end{cases}$，
∴△ABE≌△CAF（AAS）。
（2）5