《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 如图,$AE\perp AB$,$AE = AB$,$BC\perp CD$,$BC = CD$,则图中阴影部分的面积是50。

答案： 50

10. 如图,点$G在AB$的延长线上,$\angle GBC$,$\angle BAC的平分线相交于点F$,$BE\perp CF于点H$。若$\angle AFB = 40^{\circ}$,则$\angle BCF$的度数为40°。

答案： 40°

11. 如图,$AD// BC$,$\angle BAD = 90^{\circ}$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,与射线$AD相交于点E$,连接$BE$,过点$C作CF\perp BE$,垂足为$F$。
(1)线段$BF = $AB；(填写图中现有的一条线段)
(2)证明(1)中的结论。

答案：
(1) AB
(2) 证明：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°。
∵∠BAD=90°，
∴∠A=∠BFC=90°。
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于E，
∴BE=BC。
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠BFC，
∠AEB=∠FBC，
BE=CB，
∴△ABE≌△FCB（AAS）。
∴BF=AB（全等三角形对应边相等）。

12. 如图,灯塔$A$,$B与码头O$的距离相等,$OP$,$OQ$为海岸线,一轮船从码头开出,计划沿$\angle POQ$的平分线航行,航行途中,某时测得轮船所在的位置$C与灯塔A$,$B$的距离相等,此时轮船有没有偏离航线？请说明理由。

答案： 没有偏离航线，理由如下：
连接OC。
在△AOC和△BOC中，
OA=OB（已知灯塔A，B与码头O的距离相等），
AC=BC（轮船位置C与灯塔A，B的距离相等），
OC=OC（公共边），
∴△AOC≌△BOC（SSS）。
∴∠AOC=∠BOC（全等三角形的对应角相等）。
即OC平分∠POQ，
∴此时轮船没有偏离航线。

13. 如图,在$\triangle ABC$,$\triangle ADE$中,$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,$C$,$D$,$E$三点在同一直线上,连接$BD$。
(1)求证：$\triangle BAD\cong\triangle CAE$；
(2)试猜想$BD$,$CE$有何特殊位置关系,并证明。

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$，
∴△BAD≌△CAE（SAS）。
(2)猜想：BD⊥CE。
证明：
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC。
∵△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45°。
∵C，D，E三点共线，
∴∠AEC=∠AED=45°，
∴∠ADB=45°。
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=45°+45°=90°，
∴BD⊥CE。