《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 计算：
(1) $ x^{15} ÷ x^{6} $；
(2) $ (-xy)^{13} ÷ (-xy)^{8} $；
(3) $ (x - 2y)^{3} ÷ (2y - x)^{2} $。
【思路导析】利用同底数幂的除法法则进行计算。

答案：
(1)
根据同底数幂的除法法则：$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$为正整数，且$m\gt n)$，对于$x^{15}÷ x^{6}$，其中$a = x$，$m = 15$，$n = 6$，可得：
$x^{15}÷ x^{6}=x^{15 - 6}=x^{9}$
(2)
对于$( - xy)^{13}÷( - xy)^{8}$，同样根据同底数幂的除法法则，这里$a=-xy$，$m = 13$，$n = 8$，则：
$( - xy)^{13}÷( - xy)^{8}=(-xy)^{13 - 8}=(-xy)^{5}=-x^{5}y^{5}$
(3)
因为$(2y - x)^{2}=[-(x - 2y)]^{2}=(x - 2y)^{2}$，所以对于$(x - 2y)^{3}÷(2y - x)^{2}$，可转化为$(x - 2y)^{3}÷(x - 2y)^{2}$，根据同底数幂的除法法则，其中$a = x - 2y$，$m = 3$，$n = 2$，可得：
$(x - 2y)^{3}÷(x - 2y)^{2}=x - 2y$
综上，答案依次为：
(1)$x^{9}$；
(2)$-x^{5}y^{5}$；
(3)$x - 2y$。

例2 已知 $ 2 × 5^{m} = 5 × 2^{m} $,求 $ m $ 的值。
【思路导析】将等式化为方程的形式,利用 $ a^{0} = 1 (a \neq 0) $ 的性质解答。

答案： 解：$2×5^{m}=5×2^{m}$
两边同时除以$2×2^{m}$，得$\frac{5^{m}}{2^{m}}=\frac{5}{2}$
即$(\frac{5}{2})^{m}=\frac{5}{2}$
因为$a^{1}=a(a\neq0)$，所以$m=1$
结论：$m=1$

例3 计算：
(1) $ 15a^{3}b ÷ 3ab $；
(2) $ -5x^{5}y^{3}z ÷ 3x^{2}y^{2} $；
(3) $ \left( -\frac{1}{2}a^{2}b^{2}c \right) ÷ \left( -\frac{1}{6}ab^{2} \right) $。
【思路导析】利用单项式除法法则按顺序分别将系数、同底数幂相除。

答案：
(1)
$15a^{3}b÷3ab$
$=(15÷3)×(a^{3}÷ a)×(b÷ b)$
$ = 5a^{2}$
(2)
$-5x^{5}y^{3}z÷3x^{2}y^{2}$
$=(-5÷3)×(x^{5}÷ x^{2})×(y^{3}÷ y^{2})× z$
$=-\frac{5}{3}x^{3}yz$
(3)
$\left(-\frac{1}{2}a^{2}b^{2}c\right)÷\left(-\frac{1}{6}ab^{2}\right)$
$=\left(-\frac{1}{2}÷-\frac{1}{6}\right)×(a^{2}÷ a)×(b^{2}÷ b^{2})× c$
$ = 3ac$

例4 计算：
(1) $ (6x^{3}y^{2} - 7x^{4}y) ÷ xy $；
(2) $ \left( 0.3a^{2}b - \frac{1}{3}a^{3}b^{2} - \frac{1}{6}a^{4}b^{3} \right) ÷ (-0.5a^{2}b) $。
【思路导析】根据多项式除以单项式法则计算,计算时一定要细心,注意多项式的符号且不能漏项。

答案：
(1)
$\;\;\;\;(6x^{3}y^{2} - 7x^{4}y) ÷ xy$
$=6x^{3}y^{2}÷(xy) - 7x^{4}y÷(xy)$
$= 6x^{3 - 1}y^{2 - 1} - 7x^{4 - 1}y^{1 - 1}$
$= 6x^{2}y - 7x^{3}$
(2)
$\;\;\;\;\left(0.3a^{2}b - \frac{1}{3}a^{3}b^{2} - \frac{1}{6}a^{4}b^{3}\right) ÷ (-0.5a^{2}b)$
$=0.3a^{2}b÷(-0.5a^{2}b) - \frac{1}{3}a^{3}b^{2}÷(-0.5a^{2}b) - \frac{1}{6}a^{4}b^{3}÷(-0.5a^{2}b)$
$=\frac{3}{10}÷(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}÷\frac{1}{2}× a^{3 - 2}b^{2 - 1}+\frac{1}{6}÷\frac{1}{2}× a^{4 - 2}b^{3 - 1}$
$=-0.6+\frac{2}{3}a b+\frac{1}{3}a^{2}b^{2}$
$ = -0.6+\frac{2}{3}ab + \frac{1}{3}a^{2}b^{2}$

例5 计算：

(1) $ \left[ (-3xy)^{2} \cdot x^{3} - 2x^{2} \cdot (3xy^{3})^{3} \cdot \frac{1}{2}y \right] ÷ 9x^{4}y^{2} $；
(2) $ \left[ (x + 2y)(x - 2y) + 4(x - y)^{2} \right] ÷ 6x $；
【思路导析】将被除式先化简后再进行除法计算。

答案：
(1) 原式=[(-3xy)²·x³ - 2x²·(3xy³)³·(1/2)y]÷9x⁴y²
=[9x²y²·x³ - 2x²·27x³y⁹·(1/2)y]÷9x⁴y²
=[9x⁵y² - 27x⁵y¹⁰]÷9x⁴y²
=9x⁵y²÷9x⁴y² - 27x⁵y¹⁰÷9x⁴y²
=x - 3xy⁸
(2) 原式=[(x + 2y)(x - 2y) + 4(x - y)²]÷6x
=[x² - 4y² + 4(x² - 2xy + y²)]÷6x
=[x² - 4y² + 4x² - 8xy + 4y²]÷6x
=(5x² - 8xy)÷6x
=5x²÷6x - 8xy÷6x
=(5/6)x - (4/3)y