《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E为AB上一点,DF⊥DE交AC于点F,延长ED至点G,使ED= GD,连接CG.
(1)求证：BE= CG；
(2)求证：BE+CF＞EF.

答案：
(1)证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△EDB和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l} ED=GD\\ ∠EDB=∠GDC\\ BD=CD\end{array}\right.$
∴△EDB≌△GDC(SAS)，
∴BE=CG。
(2)证明：
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠GDF=90°。
在△EDF和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l} ED=GD\\ ∠EDF=∠GDF\\ DF=DF\end{array}\right.$
∴△EDF≌△GDF(SAS)，
∴EF=GF。
在△CGF中，CG+CF＞GF（三角形两边之和大于第三边）。
∵BE=CG（由
(1)得），EF=GF（已证），
∴BE+CF＞EF。

12. 如图,在△OAB和△OCD中,OA= OB,OC= OD,∠AOB= ∠COD= α,AC,BD相交于点M.

(1)如图1,当α= 90°时,∠AMD的度数为90°；
(2)如图2,当α= 60°时,∠AMD的度数为120°；
(3)如图3,求∠AMD的度数.(用含α的式子表示)

答案： 1. （1）
因为$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。
又因为$OA = OB$，$OC = OD$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。
则$\angle OAC=\angle OBD$。
在$\triangle AOB$中，$\angle OAB+\angle OBA = 180^{\circ}-\angle AOB=90^{\circ}$。
设$OA$与$BD$相交于点$N$，$\angle ANM=\angle BNO$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理，在$\triangle ANM$和$\triangle BNO$中，$\angle AMD = 180^{\circ}-(\angle OAC+\angle ANM)$，$\angle AOB = 180^{\circ}-(\angle OBD+\angle BNO)$。
所以$\angle AMD=\angle AOB = 90^{\circ}$。
2. （2）
因为$\angle AOB=\angle COD = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。
又因为$OA = OB$，$OC = OD$，根据$SAS$定理可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。
则$\angle OAC=\angle OBD$。
在$\triangle AOB$中，$\angle OAB+\angle OBA=180^{\circ}-\angle AOB = 120^{\circ}$。
设$OA$与$BD$相交于点$N$，$\angle ANM=\angle BNO$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理，在$\triangle ANM$和$\triangle BNO$中，$\angle AMD = 180^{\circ}-(\angle OAC+\angle ANM)$，$\angle AOB = 180^{\circ}-(\angle OBD+\angle BNO)$。
所以$\angle AMD=\angle AOB = 120^{\circ}$。
3. （3）
解：因为$\angle AOB=\angle COD=\alpha$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。
又因为$OA = OB$，$OC = OD$，根据$SAS$定理可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。
则$\angle OAC=\angle OBD$。
在$\triangle AOB$中，$\angle OAB+\angle OBA = 180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-\alpha$。
设$OA$与$BD$相交于点$N$，$\angle ANM=\angle BNO$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理$\angle AMD=180^{\circ}-(\angle OAC + \angle ANM)$，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OBD+\angle BNO)$。
所以$\angle AMD=\angle AOB$，即$\angle AMD = 180^{\circ}-\alpha$。
故答案依次为：（1）$90^{\circ}$；（2）$120^{\circ}$；（3）$180^{\circ}-\alpha$。