《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

13. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$在同一条直线上,点 $E$, $F$是直线 $AD$上方的点,连接 $AE$,$CE$,$BF$, $DF$,若$\triangle ACE\cong\triangle FDB$,$FD = 3$,$AB = 8$。
(1)判断直线 $CE$与 $DF$是否平行,说明理由；
(2)求 $CD$的长；
(3)若$\angle E = 26^{\circ}$,$\angle F = 53^{\circ}$,求$\angle ACE$的度数。

答案： 1. （1）
解：$CE// DF$。
理由：因为$\triangle ACE\cong\triangle FDB$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以$\angle ACE=\angle D$。
又因为“同位角相等，两直线平行”，$\angle ACE$与$\angle D$是同位角，所以$CE// DF$。
2. （2）
解：因为$\triangle ACE\cong\triangle FDB$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AC = FD$，$CE = DB$。
已知$FD = 3$，所以$AC = 3$。
又因为$AB = 8$，且$AC=AB + BC$，所以$BC=AC - AB$，这里$AC = 3$，$AB = 8$，发现错误，应该是$\triangle ACE\cong\triangle FDB$，则$AC = BD$。
因为$AC=AB + BC$，$BD = BC+CD$，所以$AB + BC=BC + CD$，即$CD = AB$。
已知$AB = 8$，所以$CD = 8$。
3. （3）
解：因为$\triangle ACE\cong\triangle FDB$，所以$\angle A=\angle F$。
已知$\angle F = 53^{\circ}$，所以$\angle A = 53^{\circ}$。
在$\triangle ACE$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle E+\angle ACE = 180^{\circ}$。
已知$\angle E = 26^{\circ}$，$\angle A = 53^{\circ}$，则$\angle ACE=180^{\circ}-\angle A-\angle E$。
把$\angle A = 53^{\circ}$，$\angle E = 26^{\circ}$代入得：$\angle ACE=180^{\circ}-53^{\circ}-26^{\circ}=101^{\circ}$。
综上，（1）$CE// DF$，理由是$\triangle ACE\cong\triangle FDB$得$\angle ACE=\angle D$，同位角相等，两直线平行；（2）$CD = 8$；（3）$\angle ACE = 101^{\circ}$。

14. 如图,点 $M$,$N$,$B$,$G$都在坐标轴上,将$\triangle MOG$绕 $O$点顺时针旋转 $90^{\circ}正好与\triangle BON$重合。
(1)求证：$BG = OM - ON$；
(2)若 $MN = 10$,$OB = 7$,求点 $G$的坐标；
(3)求证：$MG\perp BN$。

答案：
(1) 证明：
∵△MOG绕O点顺时针旋转90°与△BON重合，
∴△MOG≌△BON，
∴OM=OB，OG=ON。
∵点B、G在y轴上，
∴BG=OB-OG=OM-ON。
(2)
∵△MOG≌△BON，
∴OM=OB=7，OG=ON。设ON=OG=x，
∵M在x轴负半轴，N在x轴正半轴，
∴M(-7,0)，N(x,0)。MN=10，
∴x-(-7)=10，解得x=3。
∴OG=3，G在y轴正半轴，坐标为(0,3)。
(3) 证明：设G(0,x)，则N(x,0)，M(-7,0)，B(0,7)。直线MG斜率k₁=(x-0)/(0-(-7))=x/7，直线BN斜率k₂=(0-7)/(x-0)=-7/x。k₁·k₂=(x/7)(-7/x)=-1，
∴MG⊥BN。