《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 (1)在$\triangle ABC$中,(1)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,则$\angle C = $$100^{\circ}$；
(2)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = \angle C$,则$\angle C = $$80^{\circ}$；
(3)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B - \angle C = 30^{\circ}$,则$\angle C = $$65^{\circ}$；
(4)若$\angle A = \angle B = \angle C$,则$\angle C = $$60^{\circ}$；
(5)若$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$,则$\angle C = $$90^{\circ}$。
【思路导析】三角形的内角和为$180^{\circ}$。

答案：
(1)$100^{\circ}$；
(2)$80^{\circ}$；
(3)$65^{\circ}$；
(4)$60^{\circ}$；
(5)$90^{\circ}$。

例2 如图13.3-1,在海面上停着三艘船$A$,$B$,$C$,$C船在A船的北偏西40^{\circ}$方向,$B船在A船的南偏西80^{\circ}$方向,$C船在B船的北偏东35^{\circ}$方向,从$C船看A$,$B$两船,视线$CA$,$CB的夹角\angle ACB$是多少度？

【思路导析】$A$,$B$,$C三船的连线构成\triangle ABC$,所求的$\angle ACB是\triangle ABC$的一个内角,如果能求出$\angle CAB$,$\angle CBA$的度数,根据三角形的内角和等于$180^{\circ}$,就可以求出$\angle ACB$的度数。

答案： 75°

例3 如图13.3-2,$AC$,$BD相交于点O$,$BP$,$CP分别平分\angle ABD$,$\angle ACD$,且交于点$P$。

(1)试探索$\angle P与\angle A$,$\angle D$之间的数量关系；
(2)若$\angle A : \angle D : \angle P = 2 : 4 : x$,求$x$的值。
【思路导析】观察图形,可知$\angle D + \angle DCP = \angle P + \angle DEP$,$\angle A + \angle ABP = \angle P + \angle PCA$。
【示范解答】(1)$\because CP平分\angle ACD$,$BP平分\angle ABD$,
$\therefore \angle DCP = \angle PCA$,$\angle ABP = \angle PBD$。
$\because \angle D + \angle DCP = \angle P + \angle DBP$,$\angle A + \angle ABP = \angle P + \angle PCA$,
$\therefore \angle D + \angle A = 2\angle P$,
$\therefore \angle P = \frac{1}{2}(\angle A + \angle D)$。
(2)设$\angle A = 2k$,$\angle D = 4k$,$\angle P = xk$,由$\angle P = \frac{1}{2}(\angle A + \angle D)$,有$kx = \frac{1}{2}(2k + 4k)$,得$x = 3$。

答案：
(1)
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCD。
∵∠D+∠PCD=∠P+∠PBD，∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠PCD+∠A+∠ABP=∠P+∠PBD+∠P+∠ACP。
∵∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCD，
∴∠A+∠D=2∠P，
∴∠P=1/2(∠A+∠D)。
(2)设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk，
由
(1)得xk=1/2(2k+4k)，
xk=3k，
∴x=3。