《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,在等腰△ABC中,AB= AC,D为底边BC延长线上任意一点,过D作DE//AB,与AC的延长线交于点E.
(1)△CDE的形状是等腰三角形,请说明理由；
(2)若在AC上截取AF= CE,连接FB,FD,判断FB,FD的数量关系,并给出证明.

答案：
(1)等腰三角形
理由：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠ABC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
∴∠EDC=∠ECD．
∴DE=CE（等角对等边），
∴△CDE是等腰三角形．
(2)FB=FD
证明：
∵△CDE是等腰三角形，
∴CE=DE．
∵AF=CE，
∴AF=DE．
∵DE//AB，
∴∠A=∠E（两直线平行，同位角相等）．
∵AB=AC，设AC=AB=a，AF=CE=b，则FC=AC-AF=a-b，
EF=FC+CE=(a-b)+b=a=AB．
在△ABF和△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=EF\\ ∠A=∠E\\ AF=DE\end{array}\right.$
∴△ABF≌△EFD（SAS），
∴FB=FD．

12. 如图,在△ABC中,AB= AC= 2,∠B= 40°,点D在线段BC上运动(点D不与B,C两点重合),连接AD,作∠ADE= 40°,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA= 115°时,∠BAD= 25°；点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；
(2)当△ABD≌△DCE时,求CD的长；
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BDA= 110°时,请判断△ADE的形状,并证明.

(2) 2
(3) △ADE是等腰三角形，证明见上。

答案：
(1) 25°；小
(2) 2
(3) △ADE是等腰三角形，证明见上。