《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$BE\perp AC交CA的延长线于点E$,交$DA的延长线于点F$.若$\angle ABC= 22^{\circ},\angle C= 34^{\circ}$,求$\angle F$的度数.

答案： 在△ABC中，∠ABC=22°，∠C=34°，由三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-22°-34°=124°。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC/2=124°/2=62°。
∵BE⊥AC交CA延长线于E，
∴∠AEF=90°（垂直定义）。
∵F在DA延长线上，
∴D、A、F共线，
∴∠FAE=∠CAD=62°（对顶角相等）。
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
∴∠F=90°-∠FAE=90°-62°=28°。
28°

10. 如图,在$\triangle ACD$中,$\angle ACB= 90^{\circ},CD\perp AB于点D$.
(1)求证：$\angle BCD= \angle CAD$；
(2)若$AF平分\angle CAB分别交CD$,$BC于E$,$F$,求证：$\angle CEF= \angle CFE$.

答案：
(1)证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）．
∴∠BCD=∠CAD（同角的余角相等）．
(2)证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF（角平分线定义）．
∵∠ACB=90°，
∴∠CFE+∠CAF=90°（直角三角形两锐角互余），即∠CFE=90°-∠CAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAF=90°（直角三角形两锐角互余），即∠AED=90°-∠BAF．
∵∠CAF=∠BAF，
∴∠AED=90°-∠CAF．
∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），
∴∠CEF=90°-∠CAF．
∴∠CEF=∠CFE．