《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 如图,为提高业主的宜居环境,某小区物业准备在一个长为$(4a+2b)$米,宽为$(3a+2b)米的长方形草坪上修建两条宽为b$米的小路,求小路的面积.(要求化成最简形式)

答案： 设长方形草坪的长为 $ (4a + 2b) $ 米，宽为 $ (3a + 2b) $ 米。
两条宽为 $ b $ 米的小路交叉贯通整个草坪。
横向小路的面积为：$ 长 × 宽 = (4a + 2b) × b = 4ab + 2b^2 $，
纵向小路的面积为：$ 长 × 宽 = (3a + 2b) × b = 3ab + 2b^2 $，
交叉部分的面积为：$ 交叉部分面积 = b × b = b^2 $，
由于两条小路交叉，交叉部分被重复计算了一次，因此需要减去一次交叉部分的面积。
$总小路面积 = (4ab + 2b^2) + (3ab + 2b^2) - b^2$，
$总小路面积 = 7ab + 3b^2$。
综上所述，小路的面积为$ (7ab + 3b^2) $ 平方米。

10. 已知$x^{2}y= 3$,求$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y-4x)$的值.
解：$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y-4x)$
$=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y$
$=2×3^{3}-6×3^{2}-8×3$
$=-24$.
请你用上述方法解决以下问题.
已知$ab= 3$,求$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b+4a)\cdot (-2b)$的值.

答案： 解：$(2a^{3}b^{2} - 3a^{2}b + 4a) \cdot (-2b)$
$= -4a^{3}b^{3} + 6a^{2}b^{2} - 8ab$
$= -4(ab)^{3} + 6(ab)^{2} - 8ab$
$= -4 × 3^{3} + 6 × 3^{2} - 8 × 3$
$= -108 + 54 - 24$
$= -78$