《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(1,$\sqrt{3}$),则点C的坐标为(A)

A.(-$\sqrt{3}$,1)
B.(-1,$\sqrt{3}$)
C.($\sqrt{3}$,1)
D.(-$\sqrt{3}$,-1)

答案： A

9. 如图,点A,C,D,B四点共线,且AC= BD,∠A= ∠B,∠ADE= ∠BCF,求证：DE= CF.

答案： 证明：
因为$AC = BD$，
所以$AC + CD=BD + CD$，
即$AD = BC$。
因为$\angle A=\angle B$，$\angle ADE = \angle BCF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中：
$\begin{cases}\angle A=\angle B\\AD = BC\\\angle ADE=\angle BCF\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle BCF$。
所以$DE = CF$。

10. 如图,AB与CD交于点E,∠C= ∠AFC,∠AFC= ∠D,CF-DF= 2EF. 求证：AE= BE.

答案：
∵∠C=∠AFC，
∴AC=AF（等角对等边）。
∵∠AFC=∠D，
∴∠C=∠D（等量代换）。
设EF=x，由CF - DF=2EF得CF=DF + 2x。
∵C、E、F、D在直线CD上，
∴CF=CE + EF，DF=EF + FD。设FD=y，则CF=CE + x，DF=y。
∴CE + x = y + 2x ⇒ CE=y + x。
又ED=EF + FD=x + y，
∴CE=ED。
在△ACE和△BDE中，
∠C=∠D，
CE=DE，
∠AEC=∠BED（对顶角相等），
∴△ACE≌△BDE（ASA）。
∴AE=BE（全等三角形对应边相等）。

11. 如图1,已知AC= AE,∠BAD= ∠EAC= ∠EDC.


(1)在△ABC中,若∠B＜90°,D为BC上的一点,点E在△ABC的外部,求证：AD= AB；
(2)在△ABC中,若∠B＞90°,点D在CB的延长线上,点E在△ABC的下方,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请在图2中画出图形,并加以证明；若不成立,请说明理由.

答案：
(1)证明：设∠BAD=∠EAC=∠EDC=α，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC，∠BAD=∠EAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠EDC=α，∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
在△AFE和△DFC中，∠EAF=α，∠FDC=α，
∴∠AEF=180°-∠AFE-α，∠FCD=180°-∠DFC-α，
∴∠AEF=∠FCD，即∠AED=∠ACB，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE \\AC=AE \\∠ACB=∠AED \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD，即AD=AB．
(2)结论仍然成立．
图形：（在图2中，延长CB至D，使D在CB延长线上，在△ABC下方作点E，连接AE、DE，使∠BAD=∠EAC=∠EDC）
证明：设∠BAD=∠EAC=∠EDC=α，
∵∠BAC=∠BAD-∠DAC，∠DAE=∠EAC-∠DAC，∠BAD=∠EAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠EDC=α，∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
在△AFE和△DFC中，∠EAF=α，∠FDC=α，
∴∠AEF=180°-∠AFE-α，∠FCD=180°-∠DFC-α，
∴∠AEF=∠FCD，即∠AED=∠ACB，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE \\AC=AE \\∠ACB=∠AED \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD，即AD=AB．

12. 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,AC= CE,BC= CD,∠ACE= ∠BCD= 90°,BC的延长线交DE于点F.
求证：EF= DF.

答案： 证明：过点E作EG⊥BF，垂足为G；过点D作DH⊥BF，垂足为H。
∴∠EGC=∠DHC=90°（垂直的定义）。
∵∠ABC=90°（已知），
∴∠ABC=∠EGC。
∵∠ACE=90°（已知），
∴∠ACB+∠ECG=90°（平角定义）。
在Rt△ABC中，∠ACB+∠BAC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAC=∠ECG（同角的余角相等）。
在△ABC和△CGE中，
∠ABC=∠CGE，
∠BAC=∠GCE，
AC=CE（已知），
∴△ABC≌△CGE（AAS）。
∴BC=GE（全等三角形对应边相等）。
∵∠BCD=90°（已知），DH⊥BF（所作），
∴∠DCH=90°，即CD⊥BF，故DH=CD（垂线的定义）。
∵BC=CD（已知），
∴DH=BC（等量代换），
∴GE=DH（等量代换）。
在△EFG和△DFH中，
∠EGF=∠DHF=90°，
∠EFG=∠DFH（对顶角相等），
GE=DH（已证），
∴△EFG≌△DFH（AAS）。
∴EF=DF（全等三角形对应边相等）。
结论：EF=DF。