《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图13.3-8,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle CAB$,$\angle CBA的平分线相交于点D$,$BD的延长线交AC于点E$,求$\angle ADE$的度数.

【思路导析】因为$\angle ADE是\triangle ABD$的一个外角,所以$\angle ADE = \angle 1 + \angle 2$. 而$2\angle 1 + 2\angle 2 = 180^{\circ} - \angle C = 90^{\circ}$,故而求得$\angle 1 + \angle 2 = 45^{\circ}$,即$\angle ADE = 45^{\circ}$.

答案： 45°

例2 如图13.3-9,已知$DE分别交\triangle ABC的边AB$,$AC于点D$,$E$,交$BC的延长线于点F$,$\angle B = 67^{\circ}$,$\angle ACB = 74^{\circ}$,$\angle AED = 48^{\circ}$,求$\angle BDF$的度数.

【思路导析】要求$\angle BDF$的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将$\angle BDF看成\triangle BDF$的内角,只需求$\angle F$的度数即可.

答案： 在$\triangle ABC$中，
$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle B = 67^{\circ}$，$\angle ACB = 74^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 74^{\circ} = 39^{\circ}$
在$\triangle ADE$中，
$\angle ADE + \angle A + \angle AED = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle A = 39^{\circ}$，$\angle AED = 48^{\circ}$
$\angle ADE = 180^{\circ} - \angle A - \angle AED = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 48^{\circ} = 93^{\circ}$
$\angle BDF + \angle ADE = 180^{\circ}$（平角定义）
$\angle BDF = 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ}$
答：$\angle BDF$的度数为$87^{\circ}$。

例3 如图13.3-10,$\angle XOY = 90^{\circ}$,点$A$,$B分别在射线OX$,$OY$上移动,$BE是\angle ABY$的平分线,$BE的反向延长线与\angle OAB的平分线相交于点C$. 问：$\angle ACB$的大小是否变化？如果保持不变,请求出$\angle ACB$的大小；如果发生变化,请探究变化规律.

【思路导析】把动点的问题静止化.
【示范解答】不变化.
$\because AC平分\angle OAB$,$BE平分\angle YBA$,
$\therefore \angle CAB = \frac{1}{2}\angle OAB$,$\angle EBA = \frac{1}{2}\angle YBA$.
$\because \angle EBA = \angle C + \angle CAB$,
$\therefore \angle C = \angle EBA - \angle CAB$
$= \frac{1}{2}\angle YBA - \frac{1}{2}\angle OAB$
$= \frac{1}{2}(\angle YBA - \angle OAB)$.
$\because \angle YBA - \angle OAB = \angle XOY = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle C = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

答案： ∠ACB的大小不变化，为45°。
∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠CAB=1/2∠OAB，∠EBA=1/2∠ABY。
∵∠EBA是△CAB的外角，
∴∠EBA=∠ACB+∠CAB。
∴∠ACB=∠EBA-∠CAB=1/2∠ABY-1/2∠OAB=1/2(∠ABY-∠OAB)。
∵∠ABY是△OAB的外角，∠XOY=90°，
∴∠ABY=∠AOB+∠OAB=90°+∠OAB。
∴∠ABY-∠OAB=90°。
∴∠ACB=1/2×90°=45°。

如图13.3-11所示是可调躺椅的示意图(数据如图),$AE与BD的交点为C$,且$\angle A$,$\angle B$,$\angle E$保持不变. 为了舒适,需调整$\angle D的大小使\angle EFD = 110^{\circ}$,则图中$\angle D$应增加(填“增加”或“减少”)____20度.

答案： 增加；20