《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行,在A处测得小岛P在西偏北75°方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在西偏北60°方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/小时的速度向前航行,有无触礁的危险？

答案： 有触礁危险。

12. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 12 cm。动点P从点A出发,沿AB向点B以2 cm/s的速度运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C以1 cm/s的速度运动,两点同时出发。设运动时间为t(s),解答下列问题：
(1)当t为多少时,△PBQ是等边三角形？
(2)在P,Q运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t为多少时,△PBQ是直角三角形？请说明理由。

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{^\circ}$，$\angle A = 30{^\circ}$，$BC = 12cm$。
根据直角三角形中$30{^\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB = 2BC = 24cm$
由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{24^{2} - 12^{2}} = 12\sqrt{3}cm$
动点$P$从点$A$出发，沿$AB$向点$B$以$2cm/s$的速度运动，则$AP = 2t cm$，$PB = (24 - 2t) cm$。
动点$Q$从点$B$出发，沿$BC$向点$C$以$1cm/s$的速度运动，则$BQ = t cm$，$CQ = (12 - t) cm$。
(1)若$\bigtriangleup PBQ$是等边三角形，则$PB = BQ$，即：
$24 - 2t = t$
解得：
$t = 8$
所以当$t = 8s$时，$\bigtriangleup PBQ$是等边三角形。
(2)若$\bigtriangleup PBQ$是直角三角形，分两种情况：
当$\angle BQP = 90{^\circ}$时，由于$\angle B = 60{^\circ}$，则$\angle BPQ = 30{^\circ}$。
根据直角三角形中$30{^\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BQ = \frac{1}{2}PB$
即：
$t = \frac{1}{2}(24 - 2t)$
解得：
$t = 6$
当$\angle BPQ = 90{^\circ}$时，由于$\angle B = 60{^\circ}$，则$\angle BQP = 30{^\circ}$。
根据直角三角形中$30{^\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BP = \frac{1}{2}BQ$
即：
$24 - 2t = \frac{1}{2}t$
解得：
$t = 9.6$
所以当$t = 6s$或$t = 9.6s$时，$\bigtriangleup PBQ$是直角三角形。