《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例6 已知 $ A,B $ 均为整式,$ A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2 $。小马在计算 $ A ÷ B $ 时,误把“$ ÷ $”抄成了“$ - $”,这样他计算的正确结果为 $ -x^{2}y^{2} $。
(1)将整式 $ A $ 化为最简形式；
(2)求整式 $ B $；
(3)求 $ A ÷ B $ 的正确结果。
【示范解答】
(1) $ A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = -x^{2}y^{2} - xy $。
(2)由题意,得 $ A - B = -x^{2}y^{2} $,
由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,
$ \therefore -x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2} $,$ \therefore B = -xy $。
(3)由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,由(2)知 $ B = -xy $,
$ \therefore A ÷ B = (-x^{2}y^{2} - xy) ÷ (-xy) = xy + 1 $。
故 $ A ÷ B $ 的正确结果为 $ xy + 1 $。

答案：
(1) $A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2$
$= x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2$
$= -x^{2}y^{2} - xy$
(2) 由题意，$A - B = -x^{2}y^{2}$，
由
(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
代入上式得：$-x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2}$，
解得：$B = -xy$，
(3) 由
(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
由
(2)知，$B = -xy$，
所以$A ÷ B = \frac{-x^{2}y^{2} - xy}{-xy} = xy + 1$，
故$A ÷ B$的正确结果为$xy + 1$。

小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时,一不小心,让一滴墨水污染了这道习题,只看见被除式的第一项 $ -8x^{3}y^{3} $ 和中间的“$ ÷ $”号,污染后习题形式如下：($ -8x^{3}y^{3} $ )$ ÷ $ 。小明翻看了书后的答案是“$ 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $”,你能够复原这个算式吗？请你试一试。

答案： 设除式为单项式$ M $，商为$ 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $，被除式为多项式$ A $，且$ A÷ M = 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $，则$ A = M(4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x) $。
由被除式第一项为$ -8x^{3}y^{3} $，商的第一项为$ 4x^{2}y^{2} $，可得$ M \cdot 4x^{2}y^{2} = -8x^{3}y^{3} $。
设$ M = kx^{a}y^{b} $，则$ kx^{a}y^{b} \cdot 4x^{2}y^{2} = 4k x^{a+2}y^{b+2} = -8x^{3}y^{3} $。
系数：$ 4k = -8 \Rightarrow k = -2 $；
$ x $指数：$ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 $；
$ y $指数：$ b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1 $。
故$ M = -2xy $。
被除式第二项：$ M(-3xy) = (-2xy)(-3xy) = 6x^{2}y^{2} $；
被除式第三项：$ M(6x) = (-2xy)(6x) = -12x^{2}y $。
所以被除式为$ -8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y $，除式为$ -2xy $。
算式为：$(-8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y) ÷ (-2xy)$。

1. 计算：$ 10^{8} ÷ 10^{3} ÷ 10^{5} = $1；
$ a^{n + 1} ÷ a^{n - 4} = $$a^{5}$；
$ (\sqrt{3} - 1)^{0} = $1。

答案： 1 ；$a^{5}$；1。

2. 若 $ (x + 1)^{0} = 1 $,则 $ x $ 的取值范围是 $x\neq -1$。

答案： $x\neq -1$

3. 计算：
(1) $ 8x^{2}y^{5} ÷ 2xy^{5} = $ 4x；
(2) $ a^{5}b ÷ a^{3} = $ $a^{2}b$。

答案：
(1)
$原式 = \frac{8x^{2}y^{5}}{2xy^{5}}$
$ = \frac{8}{2} × \frac{x^{2}}{x} × \frac{y^{5}}{y^{5}}$
$ = 4 × x × 1$
$ = 4x$
(2)
$原式= \frac{a^{5}b}{a^{3}} $
$ = a^{5-3} × b$
$ = a^{2}b$

4. 计算：
(1) $ (2a)^{3} \cdot (b^{3})^{2} ÷ 4a^{3}b^{4} = $ $2b^{2}$；
(2) $ \left( -\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c \right)^{2} ÷ \left( -\frac{1}{2}a^{3}b^{3} \right) = $ $-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。

答案：
(1)$2b^{2}$；
(2)$-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。

5. 计算：
(1) $ (mx + my + mz) ÷ m = $ $x + y + z$；
(2) $ (16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) = $ $-4x + 6$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}(mx + my + mz) ÷ m \\= \frac{mx}{m} + \frac{my}{m} + \frac{mz}{m} \\= x + y + z\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) \\= \frac{16x^{3}}{-4x^{2}} + \frac{-24x^{2}}{-4x^{2}} \\= -4x + 6\end{aligned}$

6. 若 $ 8x^{6}y^{4}z ÷ M = 4x^{2}y^{2} $,则 $ M $ 所表示的单项式为(C)
A.$ 32x^{8}y^{4}z $
B.$ 2x^{3}y^{2} $
C.$ 2x^{4}y^{2}z $
D.$ 2x^{3}y^{2}z $

答案： C

7. 已知 $ x^{a} = 3 $,$ x^{b} = 5 $,则 $ x^{4a - 3b} $ 等于(D)
A.$ -44 $
B.$ \frac{12}{15} $
C.$ \frac{27}{625} $
D.$ \frac{81}{125} $

答案： D