《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 在实数范围内分解因式：$9a^{4}-4b^{4}$.
丽华的解法如下：
解：原式$=(3a^{2}+2b^{2})(3a^{2}-2b^{2})$.
请问丽华分解因式的结果正确吗？ 如果不正确,把正确的解题过程和结果写出来.

答案： 丽华分解因式的结果不正确。
正确的解题过程和结果如下：
解：原式$=(3a^{2})^{2} - (2b^{2})^{2}$
$=(3a^{2} + 2b^{2})(3a^{2} - 2b^{2})$
因为$3a^{2}-2b^{2}$还可以继续使用平方差公式$m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = (m + n)(m - n)$分解，在实数范围内$a=\sqrt{3} a$，$n = \sqrt{2}b$，所以$3a^{2}-2b^{2}=(\sqrt{3} a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3} a - \sqrt{2}b)$。
所以$9a^{4}-4b^{4}=(3a^{2} + 2b^{2})(\sqrt{3} a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3} a - \sqrt{2}b)$。

12. 观察下列等式,解答问题.
①$9-1= 8$；②$16-4= 12$；③$25-9= 16$；④$36-16= 20$；…
(1)写出第5个等式：$49 - 25 = 24$；
(2)写出第$n(n\geqslant1)$个等式：$(n + 2)^2 - n^2 = 4(n + 1)$；
(3)验证(2)的结论.
验证：
左边 =$(n + 2)^2 - n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4$，
右边$= 4(n + 1)=4n+4$，
因为左边$=$右边，
等式成立。

答案：
(1) 第5个等式：$49 - 25 = 24$。
(2)第$n$个等式：$(n + 2)^2 - n^2 = 4(n + 1)$。
(3) 验证：
左边 =$(n + 2)^2 - n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4$，
右边$= 4(n + 1)=4n+4$，
因为左边$=$右边，
等式成立。

13. 阅读与思考：
我们知道,多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解,我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积,从而达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.
例如方程$2x^{2}+3x= 0$可以这样来解：
解：原方程可化为$x(2x+3)= 0$,
因为$x与2x+3$的乘积为0,
所以$x= 0或2x+3= 0$,
解方程$2x+3= 0$,得$x= -\frac{3}{2}$.
$\therefore原方程的解为x= 0或x= -\frac{3}{2}$.
根据你的理解,结合所学知识,解决以下问题：
(1)解方程：$3x^{2}-x= 0$；
(2)解方程：$(x+3)^{2}-4x^{2}= 0$；
(3)已知$\triangle ABC$的三边长为4,$x$,$y$,请你判断式子$(y-4)^{2}-x^{2}$的值的符号.

答案：
(1)解：原方程可化为$x(3x - 1)=0$，
因为$x$与$3x - 1$的乘积为0，
所以$x=0$或$3x - 1=0$，
解方程$3x - 1=0$，得$x=\frac{1}{3}$，
$\therefore$原方程的解为$x=0$或$x=\frac{1}{3}$。
(2)解：原方程可化为$(x + 3)^{2}-(2x)^{2}=0$，
利用平方差公式得$(x + 3 + 2x)(x + 3 - 2x)=0$，
即$(3x + 3)(-x + 3)=0$，
进一步化简为$3(x + 1)(-x + 3)=0$，
因为$3\neq0$，所以$(x + 1)(-x + 3)=0$，
所以$x + 1=0$或$-x + 3=0$，
解方程$x + 1=0$，得$x=-1$，
解方程$-x + 3=0$，得$x=3$，
$\therefore$原方程的解为$x=-1$或$x=3$。
(3)解：$(y - 4)^{2}-x^{2}=(y - 4 + x)(y - 4 - x)$，
因为$\triangle ABC$的三边长为4，$x$，$y$，
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
所以$x + y＞4$，即$x + y - 4＞0$，
$y - x＜4$，即$y - x - 4＜0$，
所以$(y - 4 + x)(y - 4 - x)=(x + y - 4)(y - x - 4)＜0$，
$\therefore$式子的值的符号为负。