《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图14.2-6,已知∠ABC= ∠DCB,BD,CA分别是∠ABC,∠DCB的平分线,求证：AB= DC.

【思路导析】利用“ASA”来证明.
【请你证明】

答案： 证明：
∵BD平分∠ABC，CA平分∠DCB（已知），
∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC，∠DCA=∠ACB=1/2∠DCB（角平分线定义）。
∵∠ABC=∠DCB（已知），
∴∠ABD=∠DCA，∠DBC=∠ACB（等量代换）。
在△ABC和△DCB中，
∠ABC=∠DCB（已知），
BC=CB（公共边），
∠ACB=∠DBC（已证），
∴△ABC≌△DCB（ASA）。
∴AB=DC（全等三角形对应边相等）。

例2 如图14.2-7,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,点D在边AB上,且DB= BC,过点D作EF⊥AC,且EF交AC于点E,交CB的延长线于点F. 求证：AB= BF.

【思路导析】根据EF⊥AC,得∠F+∠C= 90°,再由∠ABC= 90°,可推得∠A= ∠F,从而利用“AAS”证明△FBD≌△ABC,则AB= BF.
【请你证明】

答案： 证明：
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠F+∠C=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠A=∠F（同角的余角相等）。
在△FBD和△ABC中，
∠F=∠A，
∠FBD=∠ABC=90°，
DB=BC，
∴△FBD≌△ABC（AAS），
∴AB=BF（全等三角形对应边相等）。

例3 如图14.2-8,在△ABC和△DBC中,∠ACB= ∠DBC= 90°,E是BC的中点,EF⊥AB,垂足为F,且AB= DE.
(1)求证：BD= BC；
(2)若BD= 8 cm,求AC的长.
【思路导析】要证明BD= BC,可先证△BDE≌△CBA；若求AC,可转化为先求BE,再求AC.
【示范解答】(1)证明：∵∠EBD= 90°,
∴∠1+∠3= 90°.
又∵DE⊥AB,∴∠2+∠3= 90°,
∴∠1= ∠2.
在△BDE和△CBA中,
{∠DBE= ∠BCA= 90°,
∠2= ∠1,
DE= AB,
∴△BDE≌△CBA(AAS),∴BD= BC.
(2)∵△BDE≌△CBA,∴BE= AC.
∵E为BC的中点,BE= $\frac{1}{2}$BC,
∴AC= $\frac{1}{2}$BC= $\frac{1}{2}$BD= 4(cm).

答案：
(1)
证明：
因为$\angle DBC = 90^{\circ}$，所以$\angle 1+\angle 3 = 90^{\circ}$。
又因为$EF\perp AB$，所以$\angle 2+\angle 3 = 90^{\circ}$，则$\angle 1=\angle 2$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CBA$中，$\begin{cases}\angle DBE=\angle BCA = 90^{\circ}\\\angle 2=\angle 1\\DE = AB\end{cases}$。
所以$\triangle BDE\cong\triangle CBA(AAS)$，所以$BD = BC$。
(2)
因为$\triangle BDE\cong\triangle CBA$，所以$BE = AC$。
因为$E$为$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BC$。
由
(1)知$BD = BC$，且$BD = 8cm$，所以$AC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}BD = 4cm$。
综上，
(1)已证$BD = BC$；
(2)$AC$的长为$4cm$。