《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AP平分\angle BAC$,$CP平分\angle ACB$,作$PD\perp AB于点D$,连接$BP$。
(1)求证：$BP平分\angle ABC$；
(2)已知$\triangle ABC的面积为15$,$AB = 4$,$AC = 4$,$BC = 2$,求$PD$的长；
(3)当$AB = 7$,$BC = 5$,$AC = 8$时,求$BD$的长。

答案：
(1)证明：过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F。
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE（角平分线性质）。
∵CP平分∠ACB，PF⊥BC，PE⊥AC，
∴PF=PE（角平分线性质）。
∴PD=PF。
又
∵PD⊥AB，PF⊥BC，
∴点P在∠ABC的平分线上（角平分线性质逆定理）。
∴BP平分∠ABC。
(2)设PD=h，由
(1)知PD=PE=PF=h。
S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，
即15=1/2×AB×PD+1/2×BC×PF+1/2×AC×PE，
15=1/2×4h+1/2×2h+1/2×4h，
15=2h+h+2h=5h，
解得h=3，
∴PD=3。
(3)设BD=x，
∵PD=PF，∠PDB=∠PFB=90°，BP=BP，
∴Rt△PDB≌Rt△PFB（HL），
∴BD=BF=x。
同理，AD=AE，CE=CF。
设AD=AE=y，则AB=AD+BD=y+x=7，即y=7-x。
CF=BC-BF=5-x，CE=CF=5-x。
AC=AE+CE=y+5-x=7-x+5-x=12-2x。
∵AC=8，
∴12-2x=8，解得x=2。
∴BD=2。

15. 已知$\triangle ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F$,过点$F作FG// BC$,交直线$AB于点G$。
(1)如图$1$,若$\triangle ABC$为锐角三角形,且$\angle ABC = 45^{\circ}$,求证：
①$\triangle BDF\cong\triangle ADC$；
②$FG + DC = AD$。
(2)如图$2$,若$\angle ABC = 135^{\circ}$,直接写出$FG$,$DC$,$AD$之间满足的数量关系。

答案：
(1)①
∵AD,BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°．
∵∠ABC=45°，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，
∴AD=BD．
∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC．
在△BDF和△ADC中，
$\begin{cases} ∠BDF=∠ADC \\ BD=AD \\ ∠DBF=∠DAC \end{cases}$，
∴△BDF≌△ADC(ASA)．
②
∵FG//BC，
∴∠AGF=∠ABC=45°．
∵AD⊥BC，FG//BC，
∴AD⊥FG，即∠AFG=90°．
∴△AFG为等腰直角三角形，
∴AF=FG．
由①△BDF≌△ADC得DF=DC．
∵AD=AF+FD，
∴AD=FG+DC，即FG+DC=AD．
(2)FG=AD+DC