《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图13.3-5是一张长方形纸片,剪去一角可得到一个三角形,则图中$\angle 1+\angle 2$的度数是(C)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

【思路导析】因为长方形四个角均为直角,所以剪去一角得到的三角形是直角三角形.

答案： C

例2 在满足下列条件的$\triangle ABC$中,不是直角三角形的是(C)
A.$\angle A-\angle B= \angle C$
B.$\angle A:\angle B:\angle C= 3:4:7$
C.$\angle A= 2\angle B= 3\angle C$
D.$\angle A= 90^{\circ},\angle B= 81^{\circ}$
【思路导析】对于C,可设$\angle A= x$,
则$\angle B= \frac{1}{2}x,\angle C= \frac{1}{3}x$.
则$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x= 180^{\circ}$.
从而求出三个内角的度数.

答案： C

例3 如图13.3-6,$AB// CD$,直线$EF分别交AB$,$CD于点E$,$F$,$\angle BEF的平分线与\angle DFE的平分线相交于点P$.

求证：$\triangle EFP$是直角三角形.
【思路导析】如果三角形中有两个角的和等于$90^{\circ}$(互余),就可证明该三角形为直角三角形.
【规范解答】证明：$\because AB// CD$,
$\therefore \angle BEF+\angle DFE= 180^{\circ}$.
$\because EP平分\angle BEF$,$FP平分\angle DFE$,
$\therefore \angle PEF= \frac{1}{2}\angle BEF,\angle PFE= \frac{1}{2}\angle DFE$.
$\therefore \angle PEF+\angle PFE= \frac{1}{2}(\angle BEF+\angle DFE)= \frac{1}{2}× 180^{\circ}=90^{\circ}$.
$\therefore \triangle EFP$是直角三角形.

答案： 证明：
∵AB//CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°。
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF=1/2∠BEF，∠PFE=1/2∠DFE。
∴∠PEF+∠PFE=1/2(∠BEF+∠DFE)=1/2×180°=90°。
∴△EFP是直角三角形。