《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 如图 15.2 - 5,利用关于坐标轴对称的点的坐标特点,分别作出$\triangle ABC关于x轴和y$轴对称的图形,并分别指出其顶点的坐标.

【思路导析】根据对称变换的意义求解.

答案： 由图可知，$\triangle ABC$的顶点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(-4,1)$，$C(-1,1)$。
关于x轴对称的图形：
点$A(-2,4)$关于x轴对称的点$A_1$的坐标为$(-2,-4)$；
点$B(-4,1)$关于x轴对称的点$B_1$的坐标为$(-4,-1)$；
点$C(-1,1)$关于x轴对称的点$C_1$的坐标为$(-1,-1)$；
依次连接$A_1$，$B_1$，$C_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
关于y轴对称的图形：
点$A(-2,4)$关于y轴对称的点$A_2$的坐标为$(2,4)$；
点$B(-4,1)$关于y轴对称的点$B_2$的坐标为$(4,1)$；
点$C(-1,1)$关于y轴对称的点$C_2$的坐标为$(1,1)$；
依次连接$A_2$，$B_2$，$C_2$，得到$\triangle A_2B_2C_2$。
结论：
$\triangle ABC$关于x轴对称的图形$\triangle A_1B_1C_1$的顶点坐标为$A_1(-2,-4)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-1)$；
$\triangle ABC$关于y轴对称的图形$\triangle A_2B_2C_2$的顶点坐标为$A_2(2,4)$，$B_2(4,1)$，$C_2(1,1)$。

例 2 已知点$A(2a + 3b, - 2)和点A'(- 1,3a + b)$.
(1)若点$A和A'关于y$轴对称,求$a + b$的值；
(2)若点$A和A'关于x$轴对称,求$a - b$的值.
【思路导析】根据轴对称坐标的变换规律,利用横纵坐标之间的关系,建立关于$a$,$b$的方程组.

答案：
(1)因为点A和A'关于y轴对称，所以横坐标互为相反数，纵坐标相等。
可得方程组：$\begin{cases}2a + 3b = 1 \\ 3a + b = -2\end{cases}$
解方程组：
由第二个方程得$b = -2 - 3a$，代入第一个方程：
$2a + 3(-2 - 3a) = 1$
$2a - 6 - 9a = 1$
$-7a = 7$
$a = -1$
则$b = -2 - 3×(-1) = -2 + 3 = 1$
所以$a + b = -1 + 1 = 0$
(2)因为点A和A'关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标互为相反数。
可得方程组：$\begin{cases}2a + 3b = -1 \\ 3a + b = 2\end{cases}$
解方程组：
由第二个方程得$b = 2 - 3a$，代入第一个方程：
$2a + 3(2 - 3a) = -1$
$2a + 6 - 9a = -1$
$-7a = -7$
$a = 1$
则$b = 2 - 3×1 = 2 - 3 = -1$
所以$a - b = 1 - (-1) = 2$
(1)0；
(2)2

例 3 如图 15.2 - 6,已知$\triangle PQR的顶点坐标为P(0,2)$,$Q(- 2,4)$,$R(- 1,- 2)$,试分别作出其关于直线$x = 1$、直线$y = - 1$对称的图形,并写出其对称图的顶点坐标.

【思路导析】根据变换规律计算出对称点的坐标,也可在图形上绘出对称点.
【示范解答】作图,如图 15.2 - 7,$\triangle PQR关于直线x = 1对称的\triangle P_1Q_1R_1三个顶点的坐标为P_1(2,2)$,$Q_1(4,4)$,$R_1(3,- 2)$；$\triangle PQR关于直线y = - 1对称的\triangle P_2Q_2R_2三个顶点的坐标为P_2(0,- 4)$,$Q_2(- 2,- 6)$,$R_2(- 1,0)$.

答案： 1. 关于直线 $x = 1$ 对称的图形 $\triangle P_1Q_1R_1$ 的顶点坐标：
设点 $P(0,2)$ 关于直线 $x = 1$ 对称的点为 $P_1(x_1,y_1)$，则 $\frac{0 + x_1}{2}=1$，$y_1 = 2$，解得 $x_1 = 2$，所以 $P_1(2,2)$。
设点 $Q(-2,4)$ 关于直线 $x = 1$ 对称的点为 $Q_1(x_2,y_2)$，则 $\frac{-2 + x_2}{2}=1$，$y_2 = 4$，解得 $x_2 = 4$，所以 $Q_1(4,4)$。
设点 $R(-1,-2)$ 关于直线 $x = 1$ 对称的点为 $R_1(x_3,y_3)$，则 $\frac{-1 + x_3}{2}=1$，$y_3=-2$，解得 $x_3 = 3$，所以 $R_1(3,-2)$。
2. 关于直线 $y = - 1$ 对称的图形 $\triangle P_2Q_2R_2$ 的顶点坐标：
设点 $P(0,2)$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的点为 $P_2(x_4,y_4)$，则 $x_4 = 0$，$\frac{2 + y_4}{2}=-1$，解得 $y_4=-4$，所以 $P_2(0,-4)$。
设点 $Q(-2,4)$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的点为 $Q_2(x_5,y_5)$，则 $x_5=-2$，$\frac{4 + y_5}{2}=-1$，解得 $y_5=-6$，所以 $Q_2(-2,-6)$。
设点 $R(-1,-2)$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的点为 $R_2(x_6,y_6)$，则 $x_6=-1$，$\frac{-2 + y_6}{2}=-1$，解得 $y_6 = 0$，所以 $R_2(-1,0)$。
答：$\triangle PQR$ 关于直线 $x = 1$ 对称的 $\triangle P_1Q_1R_1$ 三个顶点的坐标为 $P_1(2,2)$，$Q_1(4,4)$，$R_1(3,-2)$；$\triangle PQR$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的 $\triangle P_2Q_2R_2$ 三个顶点的坐标为 $P_2(0,-4)$，$Q_2(-2,-6)$，$R_2(-1,0)$。