《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,$AB = CB$,$\angle BAD= \angle BCD = 90^{\circ}$,$D是边EF$上一点,$AE\perp EF于点E$,$CF\perp EF于点F$,$AE = CF$,求证：$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。

答案： 证明：
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠E=∠F=90°（垂直定义）。
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD=CD（全等三角形对应边相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=CD\\ AE=CF\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

12. 如图,已知$A(-2,0)$,$B(0,-4)$,$C(1,1)$,点$P为线段OB$上一动点(不包括点$O$),$CD\perp CP$,$CD交x轴于点D$,$CP与x轴交于点K$。当点$P$运动时：
(1)求证：$\angle CPO= \angle CDO$；
(2)求证：$CP = CD$；
(3)给出下列两个结论：①$AD - BP$的值不变；②$AD + BP$的值不变。选择正确的结论并求其值。

答案：
(1) 见解析；
(2) 见解析；
(3) ②正确，值为8。