《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图14.2-1,在△ABE中,AB= AE,AD= AC,∠BAD= ∠EAC,BC,DE交于点O,求证：△ABC≌△AED.

【思路导析】由已知条件,需证夹角∠BAC= ∠EAD,可由∠BAD+∠DAC= ∠EAC+∠DAC得到.
【请你证明】

答案： 证明：
∵∠BAD = ∠EAC，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC，即∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
AB = AE，
∠BAC = ∠EAD，
AC = AD，
∴△ABC≌△AED（SAS）。

例2 如图14.2-2,已知AC= AD,AB平分∠CAD,求证：AB平分∠CBD.

【思路导析】已知→△ABC≌△ABD→∠ABC= ∠ABD→AB平分∠CBD.
【请你证明】

答案： 证明：
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
AC=AD（已知），
∠CAB=∠DAB（已证），
AB=AB（公共边），
∴△ABC≌△ABD（SAS）。
∴∠ABC=∠ABD。
∴AB平分∠CBD。

例3 如图14.2-3,CD= AB,∠BDA= ∠BAD,AE是△ABD的中线. 求证：AC= 2AE.

【思路导析】将中线AE延长一倍,得AF= 2AE,构造全等三角形,证明AC= AF即可.
【示范证明】如图14.2-4,延长AE至点F,使EF= AE,连接DF.

∵AE是△ABD的中线,
∴BE= ED.
在△ABE和△FDE中,
$\begin{cases}BE= DE, \\\angle AEB= \angle FED, \\AE= EF,\end{cases} $
∴△ABE≌△FDE,(SAS)
∴AB= DF,∠B= ∠EDF.
又∵AB= DC,∠BDA= ∠BAD,
∴DF= DC,∠ADC= ∠B+∠BAD= ∠EDF+∠BDA= ∠ADF.
在△ADF和△ADC中,
$\begin{cases}AD= AD, \\\angle ADF= \angle ADC, \\DF= DC,\end{cases} $
∴△ADF≌△ADC. (SAS)
∴AC= AF= 2AE.

答案： 答题卡作答：
证明：
延长$AE$至点$F$，使$EF = AE$，连接$DF$。
$\because AE$是$\triangle ABD$的中线，
$\therefore BE = ED$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FDE$中，
$\begin{cases}BE = DE, \\\angle AEB = \angle FED, \\AE = EF,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle FDE(SAS)$。
$\therefore AB = DF$，$\angle B = \angle EDF$。
又$\because AB = DC$，$\angle BDA = \angle BAD$，
$\therefore DF = DC$，$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = \angle EDF + \angle BDA = \angle ADF$。
在$\triangle ADF$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AD = AD, \\\angle ADF = \angle ADC, \\DF = DC,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle ADC(SAS)$。
$\therefore AC = AF = 2AE$。