《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图14.2-10,E,F是线段AB上的点,且AE= BF,AD= BC,DF= CE. 求证：△ADF≌△BCE.

【思路导析】△ADF和△BCE中,已经有了AD= BC,DF= CE,而EF是这两个三角形第三边上的公共部分,又知AE= BF,可得AF= BE. 用“SSS”可证.

答案： 证明：
因为$AE = BF$，
所以$AE + EF = BF + EF$，
即$AF = BE$。
在$\triangle ADF$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}AD = BC,\\DF = CE,\\AF = BE.\end{cases}$
所以$\triangle ADF\cong\triangle BCE(SSS)$。

例2 如图14.2-11,已知AB= AD,CB= CD,那么∠B= ∠D吗？为什么？

【思路导析】连接AC,证△ABC≌△ADC即可.

答案： ∠B=∠D。
证明：连接AC。
在△ABC和△ADC中，
AB=AD（已知），
CB=CD（已知），
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）。

例3 如图14.2-12,有一块三角形厚铁板,根据实际生产需要,工人师傅要把∠MAN平分,现在他手边只有一把尺子和一根细绳,请你帮工人师傅想个解决办法并说明这样做的理由.

【思路导析】要把∠MAN平分,可设法使分成的角为两个全等三角形的一对对应角,而已知工具中,细绳可以测量长度,直尺可以用来画线,于是可根据“SSS”设计方案.
【示范解答】用绳子的一定长度在AM和AN边上截取AB= AC,再选取适当长度的绳子,将其对折,得到绳子的中点D,把绳子的两端点固定在B,C两点上,拉住绳子的中点D,向外拉直BD和CD,再在铁板上画出点D的位置,作射线AD,则AD平分∠MAN. 理由如下：
在△ABD和△ACD中,$\begin{cases}AB = AC,\\BD = CD,\\AD = AD,\end{cases} $
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠MAD= ∠NAD(全等三角形的对应角相等).

答案： 解决办法：用绳子在AM和AN边上截取AB=AC；取适当长度绳子，对折得中点D，将绳子两端固定在B、C两点，拉住中点D向外拉直，画出点D，作射线AD。
理由：在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠MAD=∠NAD（全等三角形的对应角相等）。
即AD平分∠MAN。