《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 某中学教学楼前有一块边长为$a\mathrm{\ m}$的正方形空地,现准备将这块空地的四周均留出$b\mathrm{\ m}$宽的小路,中间修花圃,请你计算出花圃的占地面积.
【解析】根据题意画出图形,如图 1. 由题意可知该空地留出宽为$b\mathrm{\ m}$的小路后所得的图形仍为正方形,其边长是$(a - 2b)\mathrm{\ m}$,则其面积可求.

解：依题意可知,花圃为正方形且其边长为$(a - 2b)\mathrm{\ m}$,则花圃的占地面积为$(a - 2b)^{2}= a^{2}-4ab + 4b^{2}(\mathrm{m}^{2})$.
所以,花圃的占地面积为$(a^{2}-4ab + 4b^{2})\mathrm{m}^{2}$.

答案： 本题可根据正方形面积公式，结合题目所给条件求出花圃的边长，进而求出其占地面积。
步骤一：分析花圃的边长
已知空地为边长为$a\mathrm{m}$的正方形，在空地四周均留出$b\mathrm{m}$宽的小路，那么中间花圃的边长为$(a - 2b)\mathrm{m}$。
步骤二：计算花圃的占地面积
根据正方形的面积公式：$S = 边长×边长$，可得花圃的占地面积为$(a - 2b)×(a - 2b)=(a - 2b)^{2}\mathrm{m}^{2}$。
根据完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，将$(a - 2b)^{2}$展开，其中$m = a$，$n = 2b$，可得：
$(a - 2b)^{2}=a^{2}-2× a× 2b+(2b)^{2}=a^{2}-4ab + 4b^{2}(\mathrm{m}^{2})$
综上，花圃的占地面积为$(a^{2}-4ab + 4b^{2})\mathrm{m}^{2}$。

例 2 应用乘法公式计算：
(1)$(2a - b + 3c)(2a + b - 3c)$；
(2)$(a - 2b + c)^{2}$.
【解析】将因式中的三项分为两组后分别套用平方差公式和完全平方公式进行计算.
解：(1)原式$=[2a - (b - 3c)][2a + (b - 3c)]= (2a)^{2}-(b - 3c)^{2}= 4a^{2}-(b^{2}-6bc + 9c^{2})= 4a^{2}-b^{2}+6bc - 9c^{2}$.
(2)原式$=[(a - 2b)+c]^{2}= (a - 2b)^{2}+2c(a - 2b)+c^{2}= a^{2}-4ab + 4b^{2}+2ac - 4bc + c^{2}$.

答案：
(1)
$\;\;\;\;(2a - b + 3c)(2a + b - 3c)$
$=[2a - (b - 3c)][2a + (b - 3c)]$
$=(2a)^{2}-(b - 3c)^{2}$
$=4a^{2}-(b^{2}-6bc + 9c^{2})$
$=4a^{2}-b^{2}+6bc - 9c^{2}$
(2)
$\;\;\;\;(a - 2b + c)^{2}$
$=[(a - 2b)+c]^{2}$
$=(a - 2b)^{2}+2c(a - 2b)+c^{2}$
$=a^{2}-4ab + 4b^{2}+2ac - 4bc + c^{2}$

例 3 阅读下面的计算过程：
$5(6 + 1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)$
$=(6 - 1)(6 + 1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)$
$=(6^{2}-1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)$
$=(6^{4}-1)(6^{4}+1)$
$=6^{8}-1$.
根据上面的计算方法,请计算：
(1)$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})…\cdot\cdot(1+\frac{1}{2^{32}})$；
(2)$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)…\cdot\cdot(3^{32}+1)-\frac{3^{64}}{2}$.
【解析】第(1)题可乘$2(1-\frac{1}{2})$,依次利用平方差公式化简；同理第(2)题可乘$\frac{1}{2}(3 - 1)$,然后依次利用平方差公式化简.
解：(1)原式$=2(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})\cdot(1+\frac{1}{2^{4}})…\cdot\cdot(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2(1-\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})…\cdot\cdot(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2(1-\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{4}})…\cdot\cdot(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2(1-\frac{1}{2^{64}})$
$=\frac{2^{64}-1}{2^{63}}$.
(2)原式$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)…\cdot\cdot(3^{32}+1)-\frac{3^{64}}{2}$
$=\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)…\cdot\cdot(3^{32}+1)-\frac{3^{64}}{2}$
$=\frac{1}{2}(3^{64}-1)-\frac{3^{64}}{2}$
$=-\frac{1}{2}$.

答案：
(1) 原式
$= 2 × (1 - \frac{1}{2}) × (1 + \frac{1}{2}) × (1 + \frac{1}{2^{2}}) × (1 + \frac{1}{2^{4}}) × \ldots × (1 + \frac{1}{2^{32}})$
$= 2 × (1 - \frac{1}{2^{2}}) × (1 + \frac{1}{2^{2}}) × (1 + \frac{1}{2^{4}}) × \ldots × (1 + \frac{1}{2^{32}})$
$= 2 × (1 - \frac{1}{2^{4}}) × (1 + \frac{1}{2^{4}}) × \ldots × (1 + \frac{1}{2^{32}})$
$= 2 × (1 - \frac{1}{2^{64}})$
$= \frac{2^{64} - 1}{2^{63}}$
(2) 原式
$= \frac{1}{2} × (3 - 1) × (3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × \ldots × (3^{32} + 1) - \frac{3^{64}}{2}$
$= \frac{1}{2} × (3^{2} - 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × \ldots × (3^{32} + 1) - \frac{3^{64}}{2}$
$= \frac{1}{2} × (3^{64} - 1) - \frac{3^{64}}{2}$
$= - \frac{1}{2}$