《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.3 - 10,在等边△ABC中,D是AC边的中点,延长BC到点E,使CE = CD,连接BD,DE,试判断△BDE的形状,并说明理由。

【思路导析】利用等腰三角形“三线合一”的性质和三角形外角的性质,证明∠DBE = ∠E。

答案： △BDE是等腰三角形。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC。
∵D是AC边的中点，
∴∠DBC=∠ABC/2=30°（等腰三角形三线合一）。
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E。
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°。
∵∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，即△BDE是等腰三角形。

例2 如图15.3 - 11,在等边△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交BC于点E,F,求证：△OEF是等边三角形。

【思路导析】利用三角形外角的性质,可求得∠OEF = ∠OFE = 60°,从而证明△OEF是等边三角形。

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC/2=30°，∠OCB=∠ACB/2=30°．
∵BO的垂直平分线交BC于E，
∴EO=EB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠EOB=∠OBC=30°（等边对等角）．
同理，OC的垂直平分线交BC于F，得FO=FC，∠FOC=∠OCB=30°．
∵∠OEF是△EBO的外角，
∴∠OEF=∠OBC+∠EOB=30°+30°=60°（三角形外角等于不相邻两内角之和）．
同理，∠OFE=∠OCB+∠FOC=30°+30°=60°．
在△OEF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-60°-60°=60°．
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴△OEF是等边三角形．

例3 如图15.3 - 12,E为等边△ABC的边AC上一点,∠1 = ∠2,CD = BE,判断△ADE的形状。

【思路导析】观察图形不难发现△ABE ≌ △ACD,从而AE = AD,∠CAD = ∠BAE = 60°,由此△ADE为等边三角形。
【示范解答】证明：∵ △ABC为等边三角形。
∴ AB = AC,∠BAE = 60°。
在△ABE和△ACD中,$\begin{cases}AB = AC \\ \angle1 = \angle2 \\ BE = CD\end{cases} $
∴ △ABE ≌ △ACD(SAS),
∴ AE = AD,∠BAE = ∠CAD = 60°。
∴ △ADE为等边三角形。

答案： 答题
解：△ADE 为等边三角形。
证明：
∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAE = 60°。
在△ABE 和△ACD 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ ∠1 = ∠2 \\ BE = CD \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ACD (SAS)，
∴ AE = AD，∠CAD = ∠BAE = 60°。
∴ △ADE 为等边三角形。

如图15.3 - 13所示的是一把遮阳伞的示意图。当伞收紧时,点P与点A重合；当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动；当点P到达点B时,伞撑开得最大。已知伞在撑开的过程中,总有PM = PN,CM = CN。若CN = PN = 60 cm,则当∠CPN = 60°时,AP的长为 60cm。

答案： 60cm