《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,在△ABC和△ADE中,AB= AD,AC= AE,BC= DE. 点E在BC边上,AB交DE于点O.
(1)求证：∠CAE= ∠BED；
(2)若AB⊥DE,则∠B与∠C之间有何数量关系？请说明理由.

答案：
(1)证明：在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE。
∵∠BAC - ∠BAE=∠DAE - ∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD。
在△DOA和△BOE中，
∵∠DOA=∠BOE（对顶角相等），∠ADE=∠B，
∴∠DAO=∠BEO（三角形内角和定理），即∠BAD=∠BED，
∴∠CAE=∠BED。
(2)∠B与∠C的数量关系为2∠C - ∠B=90°。
理由：
∵AB⊥DE，
∴∠DOA=90°。
在△DOA中，∠DAO + ∠ADE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠DAO=∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD + ∠B=90°。
由
(1)知∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE + ∠B=90°。
∵AC=AE，
∴∠C=∠AEC（等边对等角）。
在△AEC中，∠CAE=180° - 2∠C（三角形内角和定理），
∴180° - 2∠C + ∠B=90°，
整理得2∠C - ∠B=90°。

12. 如图,E,F分别为线段AC上的两个动点,且AB= CD,AE= CF,BD交AC于点G.

(1)当E,F两点移动到如图(1)所示位置时,若有BF= DE,求证：BF//DE；
(2)当E,F两点移动到如图(2)所示的位置时,若仍有BF= DE,上述结论是否成立？说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE。
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\\ BF=DE\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CDE(SSS)。
∴∠AFB=∠CED。
∴BF//DE(内错角相等，两直线平行)。
(2)结论成立。
理由：
∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE。
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\\ BF=DE\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CDE(SSS)。
∴∠AFB=∠CED。
∴BF//DE(内错角相等，两直线平行)。